Sulla convergenza delle serie di funzioni ortogonali 



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cioè la G (x-, v) ammette come sistema completo di autofunzioni ortogonali le funzioni (8) 

 e come corrispondenti autovalori le quantità (9). 



Ricordando quanto abbiamo stabilito nel § precedente, si deduce da ciò che, se i 

 coefficienti della serie 



(15) 



00 



2„ c - ®» ( - v) 



sono tali , che converga la serie 

 (16) 



2.* 4. 



la (15) deve convergere assolutamente quasi da per tutto nell' intervallo (a,b). 



Aggiungiamo ora 1' ipotesi, alla quale abbiamo in principio accennato, che in ogni 

 punto di (a, b) sia limitata la successione dei valori delle funzioni ortogonali date (8). In 

 tal caso possiamo completare la determinazione della G (x, y), in modo che per ogni va- 

 lore di x sia, insieme col suo quadrato, linearmente sommabile rispetto ad y nell' inter- 

 vallo (a, b), e sussistano in tutti i punti di (a, b) le (14). A tal' uopo ricordiamo che, pel 

 teorema di Weyl, ( 8 ) si può dalla successione (11) estrarre una successione parziale 



(17) 



G m , (x, y) , G m > (x, y) , . . . , G m , [x, v) , . 



i 2 /- 



convergente quasi da per tutto nel campo (1) a G (.v, y). È facile vedere che, per ogni 

 valore fìsso di x, la (17) converge in media, rispetto ad v, nell'intervallo (a, b). Si ha 

 infatti : 



(x, y)-G m/ 



Ja L p 



X, V 



dv 



e quindi : 



•v, v 



dv 



e poiché, nella detta ipotesi, la serie 



° 8j XìH^r 



l'i Pi l 



fi />4 q 



y a 



m'p+i 



)]■• 



( 8 ) Cfr. H. WEYL : Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen forischreilen [Ma- 

 thematische Annalen, Bd. LXVII '1909). PP. 225-245]. Cfr. anche M. Plancherel: Contribuitoti à V élude 

 de la représenlation d' 11 ut- fonction arbitraire par des inlégrales déftnies [Rendiconti del Circolo Matema- 

 tico di Palermo, tomo XXX (2° seni. 1910) pp. 298-297]; LAUR1CEL LA I. c. (6). 



