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Carlo Severini 



[Memoria XX.] 



converge in ogni punto di {a, b) , resta così dimostrato quanto abbiamo dianzi asserito. 



Sia B (x, y) la funzione, alla quale, per ogni x fisso, la (17) converge in media ri- 

 spetto ad v nell' intervallo (a, b). Questa funzione B (x,y) coincide colla funzione H l (x, y), 

 alla quale, per ogni y fìsso, la - (17) converge in media rispetto ad x nell' intervallo {a, b). 

 Fissato infatti un valore x' di x, si estragga dalla (17) una successione parziale 



G m , (x, v), G m > [x',y) G m > (x\y) 



Pi Pi Pn 



convergente quasi da per tutto in (a, b) ad H(x',y), e sia y un valore di y, pel quale 

 si ha : 



(18) lim G m > {x',y) = H(x',y'). 



u=o= pn 



La successione 



G , {x, y) , G , {x,y') , . . . , G , (x,y) , 



ni j m 2 m n 



e quindi anche l' altra 



g,h\ ( x >y) » G m\ (*.y) » • • • . G m' U". y) . • • ■ • 



Pi Pi Pn 



converge in media nell'intervallo {a, b) ad H L (x,y'), ed è evidente, che risulta: 



lim G m > {x',y) = H^x'.y'). 



n==o pn 



Si conclude che in ogni punto, ove è determinata la H(x,y) è determinata anche la 

 H l (.v, y), e si ha : 



// (x,y) = H l (x,y), 



e viceversa. 



Inoltre la successione 



°m' iy\ x ) ■ G m' (y> x ) >■•■, G ,u\ (y\ 



Pi Pf Pn 



converge in media nell'intervallo {a, b) alla funzione H (y , x), e poiché per x = x' la pre- 

 cedente successione è convergente, essendo le 6? ' (x, y) simmetriche, si ha : 



pn 



lim G ,u\ (y',x) = B. (y, x) , 

 e se ne deduce per la (18) che la H(x,y) è funzione simmetrica. 



