Sulla convergenza delle serie di funzioni ortogonali 



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Infine, per ogni .v di (a, b), risulta evidentemente : 



<!>„ (x) = |jl„ I" Il ( x ,y) <!>„ ( v) dy {n=l, 2,...)- 



Riprendendo ora la G (x, y), alla quale la (17) converge quasi da per tutto nel cam- 

 po (1), è chiaro che in ogni punto, in cui la (17) converge a G (x, y), si ha: 



(19) G(x,y) = H(x,y). 



In ogni altro punto del campo (1), nel quale la H(x,y) sia determinata, possiamo, 

 per quanto è stato dianzi detto, definire la G (x, y) mediante la (19). 



Dopo ciò, tenendo presente il risultato del § precedente, si può concludere, che, se in 

 ogni punto dell' intervallo {a, b) e limitata la successione dei valori delle funzioni ortogo- 

 nali date (8), dalla convergenza della serie (16) segue la convergenza assoluta della (15) 

 in tutti i punti di [a, b). 



Si può osservare che pei - giungere a questa conclusione basta sapere che la serie (18) 

 è in ogni punto di (a, b) convergente, donde la possibilità, come e stato in principio 

 accennato, di sostituire l'ipotesi, che in ogni punto di {a, b) sia limitata la successione dei 

 valori delle (8), con altre ipotesi più generali. 



Se in particolare le (8) sono uniformemente limitate nell'intervallo (a, b), dalla disu- 

 » guaglianza 



>ii-\-p '1LÌJ J m-j-p 



[2, r - [2j"] £ ~k k H' i' 



m in in 



alla quale si perviene collo stesso ragionamento, impiegato nel § precedente per arrivare 

 alla (6), segue che, convergendo la (16), la (15) converge assolutamente ed uniformemente 

 in {a, b). 



Anche qui c' è luogo ad osservare che per potere ciò asserire, basta sapere che uni- 

 formemente limitate nell'intervallo {ri, b) sono le funzioni 



(m=l,2i...).— 



Riassumendo si può ora enunciare il seguente teorema: 



Sia 



• 8) <l\(.v), '!>, ivi «I>„ (,r) , . . . . 



una successione di funzioni ortogonali, definite in un intervallo finito (a, b), som- 

 mabili insieme coi loro quadrati. 

 Se 



c\ , c a , . . . , c „ , • • • • 

 V-i , \h , • • • , V; , 



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in 



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