Sulla convergenza delle sene di funzioni ortogonali 



LI 



4. La serie (20) risulta certamente convergente, se è limitata la successione dei rap- 



porti dei suoi termini ai termini corrispondenti della serie (k > 1 ), se cioè, qua- 



i 



lunque sia //, si ha : 



M costante , k > 1 \ 



11—1,2,.., J 



(21) «* | c n I M 



Da ciò segue il seguente teorema, che si collega col secondo teorema di Hobson, 

 enunciato in principio. 



Se esistono una costante positiva, finita M ed una quantità k, maggiore di 1, 

 tali che risulti : 



(21) n h \c n \< > M («=1,2....), 



la serie 



(15) 



co 



2, < < (I> " (■*) 



converge assolutamente quasi da per tutto nell'intervallo (a, b). 



La convergenza assoluta della (15) ha luogo in ogni punto di (a, b), se in ogni 

 punto di (a, b) è limitata la successione dei valori delle (8); e, quando le (8) sono 

 uniformemente limitate nelF intervallo (a, b) , la convergenza della (15) è anche 

 uniforme. 



In particolare, se: 



n h | a n \^M, n H \b n \-< t M (u=l, 2....) , 



ove Al e k hanno il significato sopra detto, la serie trigonometrica 



oo 



converge assolutamente ed uniformemente nell'intervallo (0, 2x). 



5. La condizione espressa dalla (21) risulta evidentemente soddisfatta, se esistono 

 una costante positiva, finita M ed una quantità maggiore di 1, tali che si abbia: 



i c n | <^ .. («=1,2,...). 



E questa, come si sa, la condizione necessaria e sufficiente, affinchè la serie di po- 

 tenze intere, positive, della variabile complessa 8 — X-\-iy 



