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Carlo Seve ri ni 



[Memoria XX. 



converga entro un cerchio di raggio maggiore di 1, e si può quindi enunciare il seguente 

 risultato, che, pur contenendo una condizione più restrittiva dei precedenti, presenta non- 

 dimeno interesse per le applicazioni che se ne possono fare. 



Se la serie di potenze filiere, positive della variabile complessa z, a coefficienti 

 reali 



CO 



i 



converge entro un cerchio di raggio maggiore di l, la serie 

 (15) 



converge assolutamente quasi da per lutto uelV intervallo (a, b), in cui le funzioni 

 ortogonali, sommabili insieme coi loro quadrati 



(8) (x), 4>., (x) , . . . , 4>„ (x) 



sono definite. 



La convergenza assoluta della (15), ha luogo in ogni punto di (a, b), se in 

 ogni punto di (a, b) è limitata la successione dei valori delle (8), ed in particolare, 

 quando le (8) sono uniformemente limitate, la convergenza della (15) è anche uni- 

 forme. 



6. Facciamo un' applicazione del precedente teorema. 



Consideriamo una successione di serie di potenze intere, positive, della variabile com- 

 plessa 8, a coefficienti reali 



co 



I 



aventi un cerchio comune di convergenza di raggio r maggiore di 1, e supponiamo che 

 la serie 



co 



2. AC) 



I 



converga uniformemente in ogni cerchio concentrico ed interno a tale cerchio, che indi- 

 cheremo con (r) ( 9 ). 



( 9 ) Cfr. C. SEVERINI: Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche . [Atti dell'Ac- 

 cademia Gioenia di Scienze naturali in Catania, Serie 5 a , voi. V (1912)]; Sopra un' applicazione della con- 

 vergenza iu media alla teoria delle finizioni aita litiche [idem Serie 5 a , Voi. Vili. (1915)]- 



00 



C„ <J>„ (x) 



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