Salili convergenza delle serie di funzioni ortogonali 



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Fissata una quantità positiva a, arbitrariamente piccola, possiamo determinare un nu- 

 mero intero, positivo ///', tale da avere per ogni /// r * ni e per ogni | z j <J p, ove p in- 

 dica una quantità positiva, compresa fra 1 ed r : 



fn (*) 



e quindi, qualunque sia p : 



JM-j-p 



2.™ 



( ni ìli 



che si può anche scrivere: 



oo 



2. 



l«m.v i" ri, 



+ i.v i 



(7// I> /// ) 



Dalla precedente disuguaglianza si ricava, ni essendo maggiore od uguale ad ni': 



(23) 



I ""M/'.V 



(v=l,2,...), 



donde segue che converge ognuna delle serie: 



00 



«„.v 



(v=l,2, ) 



E per un noto teorema di Weier Strass ( 10 ) converge ancora per ogni | x j < r la 



sei'ie 

 (24) 

 e si ha 



co co 



2, A - = 2 



Ciò posto si consideri la successione delle funzioni ortogonali 

 (8) <I\ (x) , 4> 2 (.r) , . . . , $v uvj , . . . , 



( ,0 ) Cfr. WEIERSTRASS: Zwr Functionenlehere [Monatsberichte der K. Akademie dèr Wissenschaften zu 

 Berlin, 7880. 



