Sulla convergenza delle sene di funzioni ortogonali 



15 



Pongasi poi 



(29) 



A* = A'* A- A"v 



(v=l,2,-), 



ove : 



A'v = 



(*=1,2,... 



È evidente che si ha 



(30) 



1 



J'v <3>v (x) . 



Inoltre, poiché per le (23) : 



risulta ancora : 



(v=l,2,...), 



(31) 



^5 A"v 4>v (x) 



00 



Dalle (28), (29), (30), (31) si ha in fine: 



00 00 co 



^ g n (x) - ^ A, <Dv (x) j <S a [ 1 + ^ 7" | ^ <*> [ ] 



e nel punto x considerato si deve pertanto avere 



(32) 



co oo 



Resta così stabilito che queste due serie convergono (la serie (26) converge, come 

 si è detto, anche assolutamente) ed hanno eguale somma quasi da per tutto nell' inter- 

 vallo (a, h). 



Il precedente ragionamento prova altresì che la convergenza delle serie (25), (26) e 

 (27) (convergenza assoluta nel caso delle (25) e (26)) e la validità della (32) hanno luogo 

 in ogni punto di (a, b), se in ogni punto di (a, b) è limitata la successione dei valori delle 

 funzioni ortogonali (8), e che, quando queste funzioni sono uniformemente limitate nell' in- 

 tervallo (a, b), la convergenza delle dette serie è anche uniforme. 



