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Carlo Se-verini 



[Memoria XX. | 



Concludendo si può ora enunciare il seguente teorema : 

 Sia 



oo 



(22) f n (e) = 2 V ^.* s " (n=l,2,.-) 



i 



una successione di serie di potenze intere, positive della variabile complessa z, a 

 coefficienti reali, aventi un cerchio comune di convergenza di raggio r, maggiore 

 di 1, e tali che la serie 



oo 



2. fM 



! 



converga uniformemente entro ogni cerchio concentrico ed interno al cerchio (r). 



Se 



(8) <I\ (x), <1>, (x) , . . . , 4>v (.v) , 



è successione qualsivoglia di funzioni ortogonali, depilile in un intervallo 

 putto (a, b), sommabili insieme coi loro quadrati, le serie 



(23) 



(26) 



(27) 



00 



gll (x) = 2v^ V$V ( - T) (»=1,2,...:) 



I 



00 oo 



2v a -' ^ w • a = 2v r/ - 



I I 



00 



2 



convergono quasi da per tutto nel!' intervallo (a, b) e 5/ ." 



oo QO 



(32) 2„ Sn (x) = 2 V ^ v $v <- v ') 



i i 



La convergenza delle precedenti serie (25), (26), (27) e la validità della (32) 

 ha u no luogo in ogni punto di (a, b), se in ogni punto di (a, b) è limitata la succes- 

 sione dei valori delle (8), e, quando le (8) sono uniformemente limitate nelV inter- 

 vallo (a, b), la convergenza di dette serie è anche uniforme. 



In ogni caso le serie (25) e (26) convergono assolutamente. 



Catania, gennaio 1915. 



