Memoria XXI. 



Sopra un'applicazione della convergenza in media alla teoria 



delle funzioni analitiche. 



Nota di CARLO SEVERINI (*) 



Il Prof. Pincherle ha fatto, come è noto, un' importante applicazione del concetto 

 di convergenza in media i}) alla rappresentazione di una funzione analitica, riuscendo in 

 tal modo ad assegnare condizioni assai più generali di quelle comunemente poste per la 

 validità della forinola di Caiichy 



Giovandomi di questo risultato, mi propongo di fare una nuova applicazione dello 

 stesso concetto di convergenza in media alle successioni di funzioni analitiche. 



1. Conviene anzitutto richiamare il risultato, al quale, nella nota dianzi citata, e giunto 

 il Prof. Pincherle. 



Premesso che un sistema di funzioni di una variabile reale /, sommabili insieme coi 

 loro quadrati in un intervallo (<7, b) e dipendenti da un parametro reale r, /'(/, r) , si 

 dice convergente in media ad una funzione / (/) , sommabile insieme col suo quadrato , 

 quando r tende ad r , se, fissato comunque un numero positivo s, si può sempre deter- 

 minare un numero positivo 8, tale che per | r — r \ ^ o, risulti : 



si ha il seguente teorema : 



Sia <p (x) una finizione della variabile complessa x, analitica, regolare entro 

 il cerchio di centro x=0 e raggio l, e posto: 



(*) Presentata all'Accademia nell'adunanza del 6 Febbraio 1915. 



(') Cfr. E. FISCHER. — Sur la convergence en moyenne [Comptes rendus hebdomadaires des séances 

 de I' Académie des Sciences iParis), tome CXL1V (i er semestre, 1907) pp. 1022-1O23]. 



(*) cfr. s. Pincherle. - Un' appi icazione della convergenza in media [Rendiconti della R. Accademia 

 dei Lincei (Roma) voi. XXII. serie 5 a , fase 9, (2 semestre. 191 3) pp. 397-402]. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — Meni. XXI. 1 



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<p(r) = «(r, /) + iH>\ t) 



