Carlo Severini [Memoria XXI.] 



esistano due funzioni di t, p (t) e q (t), sommabili insieme coi loro quadrati nel- 

 V intervallo (0, 2%), alle quali, (ri l ender e di r ad 1, convergano in media rispetti- 

 vamente le a (r, t) e $ (r, t). 



Sotto queste ipotesi la p (t) -\- iq (t), è funzione u (z) <Yé7 punti z piano 

 x pos/z' s////« circonferenza (1), ( 3 ) è ta/e c7/<? V espressione : 



rappresenta la funzione cp (x) : /' indicazione (1) posta al piede del segno d'inte- 

 grale significa che /' integrazione va estesa alla circonferenza (1). 



Il teorema è facilmente estendibile, come 1' A. osserva, al caso di una funzione ana- 

 litica, regolare entro un' area semplicemente connessa, limitata da una linea analitica, per 

 i punti della quale la funzione non sia data, ma si sappia che la parte reale e la parte 

 immaginaria tendono in media a funzioni dei punti del contorno, sommabili insieme coi 

 loro quadrati, quando la variabile tende al contorno in dipendenza alla variazione di un 

 opportuno parametro. 



2. Sia 



(1) cp, (x), cp, (.r) , . . . , cp;„ (x) , , 



una successione infinita di funzioni analitiche, regolari entro il cerchio (1), soddisfacenti 

 per i punti del contorno alle condizioni del precedente teorema. 

 Posto : 



X = re" 



cp ;( (.v) = u„ (r,t) -j- i r Vn (r,t) o ^ t < 2t ; 



W=l,2,.../ ' 



siano 



Pa (t) , q„{t) («=1,2,...) 



le funzioni, sommabili insieme coi loro quadrati nell' intervallo (0, 2%), alle quali rispetti- 

 vamente convergono in media le 



a n (r,t), §n(r,t) (>/=l,2,...) 



al tendere di r ad 1. 

 Le successioni 



(2) p^t), p, (/),..., p n {t),.... 



(3) q,{t), q 2 (/),..., q n (t),. ■■■ 



( 3 ) Colla nota/ione (i) s'intende indicare il cerchio di centro x — o e raggio i. 



