Sopra un' applicazione della convergenza in media ecc. 



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esistano, per ogni n, dite funzioni di t 



(2) p n (t) (»= 1,2,....), 



(3) ?,« (0 (»=.l,2,....), 



sommabili insieme coi loro quadrati nelV intervallo (0, 2%), alle quali convergano 

 in media rispettivamente le successioni 



ce,, (?', /) (« = 1, 2,....) 



P,< (r,f) («= 1, 2,....) 



tendere di r aaf L. Z.<? successioni (2) e (3) convergano inoltre in media nell'in- 

 tervallo (0, 2ic) rispettivamente a due funzioni , sommabili insieme coi loro qua- 

 drati, P (t) e Q (t). So/fo queste ipotesi la P (t) -(- iO (t), <7*e è funzione U (z) (/<?/ punti 

 z rfé/ piano x, posti sulla circonferenza (1), è /7//<? c^e /' espressione 



$ (x) = — /' <fo? ( | A- | < 1 ) 

 2TC; J(l) r— jìt 



rappresenta una funzione analitica, regolare entro il cerchio (1), e si ha: 



$ (x) = lim (p„ (x) ( j. x | < 1 ) . 



Z>/ /a successione (1) tew/e uniformemente a $ (x), ^>er ogwz | x | <; 1 — S, 

 ot'<? o é una quantità positiva, minore di 1, arbitrariamente scelta. 



3. La convergenza in media nell' intervallo (0, 2ic) delle successioni (2) e (3) si può 

 in particolare asserire, se le funzioni p n (t), q n (t), che le compongono, sono uniforme- 

 mente limitate nell'intervallo (0, 2tt), ed esistono quasi da pei- tutto in questo intervallo, 

 fatta cioè al più eccezione per i punti di un insieme di misura nulla, i due limiti 



P(t) — lim p n {i), Q{t) = lim q„(t) 



Basta perciò ricordare ( 5 ) che la (2) e la (3) devono allora tendere a P (t) e Q{t) 

 uniformemente in generale cioè uniformemente per tutti i punti dell' intervallo (0, 2%) , 

 esclusi al più i punti di un insieme di misura minore di una quantità positiva t, che può 

 essere arbitrariamente scelta. 



(■') Cfr. C. SEVcRlNl. — ■ Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali % 4. [Atti dell'Accademia 

 Gioenia di Scienze Naturali in Catania, serie V. voi. Ili (1910), Memoria XI]: Sulla chiusura dei sistemi di 

 funzioni ortogonali, (nota 8) [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXVi (2 semestre 1913)]. 



