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Giuseppe C. Tedesco 



[Memoria XXVII. | 



2. — Affinchè 1' elica (1) del n. prec. sia algebrica occorre che sia algebrico il ci- 

 lindro — e quindi la sua sezione retta — e che l' arco 5 di questa sia espresso da una 

 funzione algebrica s = 5 (x, v) delle coordinate del suo estremo, cioè che la detta sezione 

 retta sia una curva algebrica rettificabile. (*) 



La ricerca delle eliche algebriche dipende quindi dalla ricerca delle curve algebrica- 

 mente rettificabili, che assumeremo come sezioni rette del cilindo. 



3. — È noto ( 2 ) che ogni curva piana algebrica rettificabile è l' evoluta d' una curva 

 algebrica e reciprocamente, e che l' arco d' una tale curva è dato da un' equazione della 

 forma : 



dove F {x, y) = è l' equazione della curva e le derivate parziali sono calcolate nel 

 punto (x, y) estremo dell'arco 5, oj è una costante che dipende dalla scelta del punto 

 origine degli archi e P una funzione razionale di (x e y). 



Se poi |/ -j- (^-J e una funzione razionale delle coordinate del punto generico 



della curva, allora 1' arco è anche funzione razionale delle coordinate del suo estremo e 

 la curva appartiene alla categoria di quelle che Laguerre ha chiamato curve di direzione. 



Si dimostra ( :; ) che quando la evoluta di una curva algebrica è di direzione, 

 anche questa curva è di direzione e viceversa la evoluta di una curva semplice 

 di direzione è pure una curva di direzione. 



Le eliche relative a una curva piana algebrica di direzione le diremo eliche alge- 

 briche di direzione, perchè anche per esse il differenziale dell'arco è razionale. 



4. — La condizione di algebricità di un' elica si può ritrovare col seguente procedi- 

 mento geometrico. 



E noto che la superficie sviluppabile circoscritta ad un' elica ammette curve piane 

 come traiettorie ortogonali delle generatrici ; sicché le eliche sono le evolute gobbe delle 

 curve piane. Se 1' elica è algebrica, la sviluppabile circoscritta è pure tale ; lo stesso ac- 

 cade quindi delle sezioni piane. Dunque le eliche algebriche sono le evolute gobbe 

 delle curve piane algebriche. E le evolute piane di queste non sono altro che le pro- 

 iezioni ortogonali delle eliche sui piani delle suddette curve piane, cioè sono le sezioni 

 lette dei cilindri sui quali sono date le eliche. 



L' elica relativa alla parabola semicubica 



5. — Per quanto è stato detto nel n. prec, l'elica, evoluta gobba della parabola co- 

 nica, è algebrica. 



i 1 ) SERRET — Cours de calci/I diffèrentiel — n. 199. 



( 2 ) SERRET — Op. cit. e HUMBEFT — Sur les courbes algebriques planes reclifiables — Journal de 

 Mathétnatiques pura et appliquées — 4 ser. tom. IV fase. II. 1888. 



( 3 ) HUMBERT — Mem. cit. 



