Su le eliche cilindriche algebriche 



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Studiamo una tale elica, e consideriamola, per semplicità, come evoluta della parabola 



(1) y 2 = 2(x + 1). 



L' evoluta piana di questa curva è la parabola semicubica 



(2) f = ^ x\ 

 Si ha : 



onde, chiamando con s l'arco della curca (2), avremo : 



i 



ds = ± ( 1 + 4- - v ) 2 ; 



e, integrando e scegliendo il segno -J- del radicale, 



,2 \~2 | 



1 -j x -+- cost. 



5 ' 



ossia, ponendo 1' origine degli archi nel punto (0, 0) 



_ (4.v 2 + 9y') ' 

 ' ' 8.r 3 



L'elica l'elativa alla curva (2) ha quindi come equazioni: 



r = ^ x- 



(4g + y>._ 



8..V 5 



Per qualunque coppia di valori di .v e v soddisfacenti alla (2) corrispondono per s due 

 valori simmetrici rispetto al valore s = — a ; quindi l' elica si compone di due rami sim- 

 metrici rispetto al piano s = — a ; esterni allo strato determinato dai piani ,3 =0 e 

 8 — — 2<x. 



Ciascuno di questi due rami è poi formato di due parti simmetriche rispetto al piano 

 y = 0, corrispondenti alle due parti della curva (2). 



In ciascuno dei punti (0, 0, 0), (0, 0, — 2a) 1' elica ha una cuspide, perchè, inten- 



8 / 2 \ 3 



dendola come intersezione del cilindro v 2 = — x 3 col cilindro {s -\- a)' 2 = « 2 | 1 -| — — x j , 

 i punti suddetti sono intersezione di una generatrice cuspidale [x — y — 0) del primo ci- 



