Su le eliche cilindriche algebriche 



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del piano y = 0, passa per 1' origine degli assi dove ha un flesso, perchè ivi si annulla 



t/ 2 V 



la — g- . Non ha altri flessi reali a distanza finita. Inoltre , non ammette nessuna singo- 

 larità a distanza finita, perchè non si annulla mai la derivata del primo membro di (1) 

 rapporto ad x. Quindi il cilindro (1) ha soltanto una generatrice reale inflessionale nel 

 punto (0, 0, 0) e tutte le altre ordinarie. 



Indicando poi con F (y, s) = l'equazione (2) ridotta a forma razionale intera, 

 osserviamo che nei punti (o, -~-ì |o, ^-J e ivi soltanto, si annullano -t^-, -—e, sic 



come e ivi 



d 2 F d' z F I d 2 F 



ds~ dy 2 \ djgdy 



= 0, 



in quei punti la curva (2) ha cuspidi. In essi quindi il cilindro retto relativo ha genera- 

 trici cuspidali. 



Concludiamo che l'elica (1') ha nei punti (-^-, 0, e ( l —, M delle cu- 



spidi , poiché , dall' analisi su esposta rileviamo che in quei punti le generatrici rispettive 

 dei due cilindri (1) e (2) che determinano l'elica sono una ordinaria e l'altra cuspidale e 

 i piani tangenti lungo esse ai cilindri sono distinti. 



11. — Facendo, nelle equazioni (1) del ri. 6, n — — e indicando con — il rag- 

 gio della circonferenza mobile e con fr l' anomalia del centro di detta circonferenza 

 (essendo polo il centro dell' altra), si hanno le equazioni della ipocicloide a quattro cu- 

 spidi (asteroide) : 



l x = a cos :i & 



(1) 



f v = a sen u fi- 

 da cui eliminando & si ha 1' equazione dell' asteroide in coordinate cartesiane : (*) 



2 2 2 



(D X* -\- y^=z a_3 . 



L' arco, scegliendo come senso crescente degli archi il senso decrescente di & fra 

 & = e 0- = — —, è dato da : 



2 ' 



3 



(2) 5 = — a cos'" & ~ r cost. 



ovvero anche da : 



(2') s = \ a YAim + C0St 



( l ) Anche senza ricorrere al teorema di Humbert, si vede subito che questa curva è di direzione, poiché 

 la sua equazione tangenziale è : 



(u* + r' 2 ) a"- — «V . 



