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Giorgio Aprile 



[Memoria XXVIII.] 



6. I raggi del fascio di V avente il centro nel punto x~~D risultano incidenti ~, 

 epperò appartengono alla ipersuperficie F, per cui: 



// piano 8, uscente dal punto D e secante cp, appartiene alla F. 

 Dimostreremo qui che : 



Non esiste su F alcun altro piano diverso dai nove determinati fin qui, e 

 cioè: 7t, t, 8 e le due terne iy, Xy. 



Difatti esaminiamo i casi in cui un piano k, (distinto dai nove sudetti), può apparte- 

 nere ad F. 



a) Il piano k contenga un fascio di V. In tal caso esso dovrà secare qp in una 

 conica, e dovrà risultare o cospaziale con x, o cospaziale con x. 



Ma essendo ~ e x in posizione generica rispetto a cp, esistono due sole terne di piani 

 secanti qp e cospaziali atei: rispettivamente, — (terne x# già considerate). 



- b) Il piano k, (non secante cp), risulti incidente a tutti ì raggi di T formanti la F. 

 In tal caso uno spazio generico a condotto per tale piano incontra F, in questa piano, e 

 in una superficie del quarto ordine, con la cubica aqp doppia. 



D' altra parte, lo spazio oc seca F in una rigata dT, d' ordine quattro, costituita dalle 

 corde di «cp incidenti la retta ai, e ciascun raggio di quest' ultima rigata seca F in più 

 di cinque (') punti; si deduce di qui che uF appartiene ad t. Sicché lo spazio a incontra 

 questa ipersuperficie nel piano X e nella rigata a Y: assurdo, perchè t e x, in generale, si 

 suppongono non cospaziali ( 8 ). 



7. - - Indichiamo con T lt (/, j— 1, 2, 3) i punti in cui t incontra i tre piani x y di 

 F, (n. 5); e con P u quelli in cui 7t incontra i piani Ty. 



Discende facilmente che i punti T, n P tt , D, sono doppi per la F, e coincidono con 

 quelli determinati al n. 3. 



Nè può esistere alcun altro punto doppio di F fuori di cp, poiché il complesso F è 

 d' ordine uno, e quindi per un punto che non stia nella superficie singolare, o sui piani 

 parassiti del complesso, passa un solo raggio di F — Per cui : 



/ puliti doppi di F, non giacenti in qp, sono tutti e soli i sette putiti in cui 

 i nove piani di essa s incontrano, due a due, fuori di cp. 



8. — Volendo qui riassumere le proprietà della h si può concludere che: 



La ipersuperfìcie F, formata dai raggi iti F incidenti un piano generico x, 

 risulta razionale, à" ordine cinque, con riga/a cubica normale cp doppia, sei punti 

 tripli su questa e sette punti doppi fuori della medesima. La F ammette inoltre: 

 sei coni quadrici, aventi i vertici nei punti tripli, e nove piani, dei quali sette 

 (soltanto) secanti cp lungo coniche : uno fra questi, 3, contiene un sol punto dop- 

 pio D = xt. , mentre gli altri sei formano due terne t y , ity (i —|~ j, i, j= 1, -, 3) 

 cospaziali ai rimanenti due piani ~, x rispettivamente. Ciascun piano della terna 

 Ty , jc y ), contiene due punti tripli Ti, Tj (o P i} P,), ed un punto doppio Pi,, 

 (o Ty) della F ; i piani ~ e % contengono rispettivamente le terne di punti tripli 

 T; , Pj e le quaterne di punti doppi D, Ty ; D, Py. 



( 7 ) Sono : uno sulla retta ai, quattro sulla te, ed un sesto sul piano X. 



( 8 ) E quindi la rigata aT non può risultare, in generale di raggi incidenti entrambe le rette a.-, a.-. 



