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Giorgio Aprile 



[Memoria XXVIII.] 



mune ed unito, sicché i raggi che congiungono i loro punti corrispondenti formano una 

 rigata del 4° grado, con cubica doppia c 3 . 



Al variare di fi nel fascio ("), la c 3 genera un luogo X, il quale non ha alcuna sua 

 parte sul piano r, (all' infuori dei punti fondamentali doppi della / ( ), luogo che è quindi 

 incontrato in una, (sola), cubica c 3 da un qualunque spazio del fascio (t); X è quindi una 

 rigata cubica normale cp. Ciò basta per concludere che la varietà generata dalle congiun- 

 genti le coppie di punti omologhi, nella corrispondenza /,, fra i piani t e x, coincide con 

 quella dei raggi del complesso, tipo F, (avente per superficie singolare la rigata cubica <p 

 ed uno qualunque dei due piani, ad es. t), incidenti tc; cioè detta varietà è del tipo F. 



CAP. II. 



§ l. 



20. In questo Gap. tratteremo diverse sezioni spaziali della F. Di ognuna di esse si 

 fa un cenno molto sommario ; e precisamente, sulla configurazione delle rette di ciascuna 

 siffatta superficie, e sulla relativa rappresentazione minima. Da quest' ultima si possono 

 dedurre, coi noti metodi, diverse proprietà della superficie di cui ci occupiamo, proprietà 

 in parte note. 



Secando la F con uno spazio generico a, si ottiene una superficie razionale f 

 d' or di i/e cinque, eoi/ cubica gobba doppia ; (degenere o no). 



Tale superficie contiene le nove rette /, p, d, t/j , p,, (i=\=J, i,j= 1, 2; 3) traccia 

 su a dei nove piani (n. 8) ~, tc, 8, ty, 7C y rispettivamente. La / contiene inoltre le quat- 

 tro rette a„ , n=ì, 2, 3, 4, di T, passanti per i punti in cui la retta p = a % incontra 

 la rigala di quart' ordine a V, (n. 1). 



21. Ne può esistere alcuna altra retta della /, distinta dalle 13 predette. 



Difatti se ne esistesse un' altra x, i quattro raggi di T, passanti per i punti in cui x 

 incontra la rigata «T, dovrebbero appartenere alla ( i8 ) f, sicché essi coinciderebbero con 

 i raggi a„ succennati. Ma in tal caso a quest' ultima quaterna a „ di rette verrebbero ad 

 appoggiarsi tre rette della /, e cioè x, t = a~, p~a~, sicché queste, (e quindi anche 

 le a n ), dovrebbero appartenere ad una medesima schiera rigata, passante per la cubica ( 19 ) 

 <x,cp = c 3 . Discende di qui che la quadrica, di siffatta schiera, eia superficie /'avrebbero 

 in comune la cubica c 3 , contata due volte, e le sette rette x, l, p, a„ {n = 1, 2, 3, 4) ; 

 conclusione assurda poiché la /, in generale, non si spezza. Per cui: 



La sezione spaziale generica di F è una superficie f, d'ordine cinq/ie 7 con cu- 

 bica gobba doppia e tredici rette semplici; /indici fra queste sono corde della 

 cubica, a due a due //on si tagliano, le due rimanenti (t, p), sono pure sghembe 

 fra loro. Queste risultano entrambe incidenti a quattro rette della f, (le a„); mentre 

 su ciascuna di esse si appoggiano rispettivamente due terne delle rimai/enti (le 

 t ,j, pij). Esiste una sola retta, (la A), che non si appoggia ad alcuna delle rima- 

 nenti rette di f. 



C 8 ) Poiché ciascuno di essi ha più di 5 punti comuni con /'. cfr. nota 7. 



C 9 ) Poiché ha in comune con tale cubica le 4 coppie di punti in cui le corde a n si appoggiano ad essa. 



