30 T. S. Vanecek. Sur I' Inversion Generate. [May 11 



par rapport a l'autre est d'ordre 2mn, donee de 2n points d'ordre m 

 et de 2m points de l'ordre n. 



Nous pouvons done enoncer les theoremes suivants : 

 Quand le sommet a aVun triangle polaire a, ai, a 2 par rapport d une 

 conique C parcourt une courbe L de Vordre m et ai parcourt une courbe 

 D de Vordre n, le troisieme sommet a 2 de'erit une courbe d'ordre 2 mn qui 

 a 2m points multiples d'ordre n et 2n points multiples d'ordre m qui 

 sont les points d' 'intersection des courbes L, D avec la conique 0. Et 

 reciproquement. 



Quand le cote A d'un triangle polaire par rapport a la conique C 

 enveloppe une courbe L x de la classe m, et le cote A x enveloppe une courbe 

 D l de la classe n, le troisieme cote A 2 enveloppe une courbe (A 2 ) de la 

 classe 2mn, douee de 2m tangentes multiples de la classe n et de 2n 

 tangentes multiples de la classe m qui sont respectivement tangentes com- 

 munes des courbes L 1? C et des courbes D 1? C. 



Les courbes (a 2 ) et (A 2 ) sont les polaires reciproques par rapport a 

 la conique G. 



3. La courbe (a 2 ) est la meme si nous transformous la courbe L par 

 rapport a la directrice D ou cette courbe D par rapport a, L comme 

 directrice. Considerons la courbe L comme dans le paragraphe pre- 

 cedent, d'ordre m, et la courbe D d'ordre n. Les points d'intersection 

 de la courbe L ou I) avec la conique f ondamentale G appelons les points 

 fondamentaux. Nous pouvous enoncer les theoremes suivants. 



Un simple point fondamental de la courbe L devient un point 

 multiple d'ordre n de la courbe inverse (c& 2 ). 



Le point fondamental d'ordre ?n x de la courbe L est un point multiple 

 d'ordre m l n de la courbe inverse (« 2 ). 



Quand les deux courbes L, D ont un point fondamental simple a 

 commun, ce point se transforme en un point multiple d'ordre m + n — 2 

 de la courbe (tf 2 ) et en la tangente de la conique fondamentale G 

 en ce point a, qui fait une partie de la courbe inverse (<x 2 ). 



Le point fondamental a etant un point multiple d'ordre m± de la" 

 courbe L et le point multiple d'ordre n Y de la courbe D, ce point se 

 transforme en un point multiple d'ordre. 



(ji— n 1 )m 1 -\- (in — 



et en la tangente A de la conique fondamentale en ce point ; la droite 

 A fait une partie de la courbe inverse (a 2 ) et elle est une droite 

 multiple d'ordre <m l n v 



Le point multiple a d'ordre de la courbe L n'etant pas un point 

 fondamental se transforme en n points multiples d'ordre m Y qui se 

 trouvent sur la droite A, polaire du point a. Quand ce point a se 

 reunit avec un point multiple d'ordre n x de la courbe D, il se trans- 

 forme en m points multiples d'ordre ?? 1 de la courbe inverse (a 2 ), qui 

 sont distribues sur la meme droite polaire A. 



