342 



wesentliche Eigentümlichkeit, mit welcher eine scharfe Grenze 

 zwischen den Gestalten dieses Systems und jenen des Tesseral- 

 systems gezogen ist, besteht in dem Gegensatze der einen Axe 

 gegen die beiden anderen; ein Gegensatz, welcher zwar durch die 

 Ungleichheit der Axen bedingt, aber von dem numerischen Charakter 

 dieser Ungleichheit völlig unabhängig ist. Die um eine einseitig 

 vorherrschende Eichtling viergliedrig geordnete Symmetrie, als 

 Folge jenes Gegensatzes, ist es, was dem Grundtypus aller tetra- 

 gonalen (quadratischen) Gestalten ein so eigenthümliches Gepräge 

 ertheilt, dass der Gedanke an einen Übergang in tesserale Ge- 

 stalten gar nicht aufkommen kann." 



Gerade diese letztere Äusserung steht nicht im Einklänge 

 mit der vorher ausgesprochenen Ansicht, dass es für die Selb- 

 ständigkeit des Systems ganz gleichgiltig sei, ob die Zahlen der 

 Axenlängen der Grundgestalt rational oder irrational sind. Sie 

 können nicht rational sein, weil, wie ich oben bemerkte, rationale 

 Ableitungscoefficienten eine quadratische normale Pyramide ein- 

 führen könnten, welche in den Kantenwinkeln mit dem Oktaeder 

 übereinstimmte, das Oktaeder wäre. Man kann nicht behaupten, 

 dass sich keine quadratische Species finden würde , welche eine 

 solche Grundgestalt mit rationalen Zahlen der Axenlängen auf- 

 stellen liesse, um aus ihr das Oktaeder als Ableitungsgestalt zu 

 erhalten. Sobald man theoretisch rationale Zahlen zulässig findet, 

 kann auch ein rationaler Ableitungscoefficient das Oktaeder hervor- 

 rufen. Es wäre eine Kleinigkeit , dies durch eine beispielsweise 

 Berechnung zu beweisen. 



Um die Ableitung der quadratischen Gestalten von der Grund- 

 gestalt zu lehren, bedarf man allerdings nur der Annahme des 

 Axen Verhältnisses a : 1 : t, sobald es sich aber um die Grund- 

 gestalt einer Species handelt, darf man dieses Verhältniss nicht 

 so wählen, dass a eine rationale Zahl ist, weil dann das Oktaeder 

 als mögliche Gestalt in die Reihe der normalen Pyramiden fiele, 

 wenn als Gesetz aufgestellt worden ist, dass die Ableitungs- 

 coefficienten rationale Zahlen sind. Könnte das Oktaeder auf 

 diese Weise in die Reihe normaler quadratischer Pyramiden fallen, 

 dann könnte man ja auch dieses Oktaeder als Grundgestalt wählen, 

 weil es sich ja nur darum handelt, aus der Reihe der normalen 

 Pyramiden eine vorhandene als Grundgestalt zu wählen, oder eine 



