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Jedem Punkte des Raumes entsprechen mithin zwei Werthe von 

 p w . Innerhalb eines gewissen Kegels F w sind diese Werthe imaginiir. 

 Jeder Pnnkt des Raumes ausserhalb desselben ist der Ort zweier 

 I-Punkte W; jeder Pnnkt des ganzen Raumes ist der Ort eines 

 I-Punkts V. Der Kiirze wegen nennen wir den Raum R v , wemi 

 wir ihn als den Ort von I-Punkten V betrachten ; analog sprechen 

 wir von dem Doppel-Raume R w . Einem gegebenen Orte des Rau- 

 mes R v entspricht ein Ort des Doppel-Raumes R„. Dagegen : 

 Einem gegebenen Orte des Doppel-Raumes R w entsprechen zwei 

 Oerter des Raumes R v . Wir werden irn Folgenden drei Trans- 

 formationen von geometrischen Figuren anwenden, welche auf 

 die obenstebenden Betrachtungen gegriindet sind. 



1) Man kann eine gegebene raumliche Figur als den Ort von 

 I-Punkten V betrachten. Jedem Punkte V entspricht ein Pnnkt W. 

 Der gegebenen Figur des Raumes R v entspricht eine Figur des 

 Doppel-Raumes R„. [V,W]. 



2) Man kann eine gegebene Figur als den Ort von I-Punkten 

 W betrachten. Jedem Punkte W entspricht ein Punktpaar (V, V,,). 

 Der gegebenen Figur des Doppel-Raumes R w entspricht eine Figur 

 des Raumes R v . [W, V]. 



3) Einem gegebenem Punkte des Doppel-Raumes R w entspre- 

 chen, wie wir wissen, zwei Punkte des Raumes R v (V, und V„). 

 Dadurch ist eine involutionische Correspondance zwischen den 

 Punkten des Raumes R v bestimmt. Einer Figur von Punkten V, 

 entspricht eine Figur von Punkten V 2 . [V n VJ. 



Wir denken uns den Raum R v von borizontalen Ebenen E v 

 durchschnitten. Jede Ebene E v (Fig. 4) ist eine vollstandige I- 

 Gerade, die sich in eine I-Gerade E w transformirt. Mithin : einer 

 ebenen und horizontalen Figur des Raumes R v entspricht eine 

 ebene Figur des Doppel-Raumes R w . Die I-Geraden E v geben 

 durch einen I-Punkt A v (den in horizontaler Richtung unendiich 

 entfernten). Folglich gehen die Ebenen E M durch einen Pnnkt 

 A «. Im Algemeinen gehen durch jeden Punkt des Doppel-Rau- 

 m es R„ncei Ebenen E v> ; sie umhiillen somit einen Kegel, zweiten 



