eine Ebene des Doppel-Raumes R w sich im Allgerneinen in ein 

 Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte, welches die Gerade 

 1 enthalt, transformirt. Dieses Hyperboloid kann in zwei Ebeneti 

 zerfallen, von welchen die eine horizontal ist, die andere die Ge- 

 rade 1 enthalt. 



Die Geraden der Congruenz B v bestimmen durch ihren Durch- 

 schnitt mit zwei solchen zusammenhorenden Ebenen E v und @t 

 involutorisch entsprechende Punkte- und V 2 . Die Durchschnitts- 

 gerade (d) zweier zusammenhorenden Ebenen E v und (S r ist der 

 Ort von Doppelpunkten in der raumlichen Involution (V,, V 2 ). 

 Diese Gerade d bestimmt eine Linienflache zweiten Grades F v . 

 Auf jeder Gerade des Congruenz B v bestimmt diese Flache die 

 beiden Doppelpunkte in der Involution [V x , V a ] auf der Gerade. 

 Man leitet hieraus die folgende geometrische Definition unserer 

 dritten Transformation her: Durch den gegebenen Punkt V x zieht 

 man die entsprechende Gerade der Congruenz- B v . Man bestimmt den 

 conjugirten Punkt des Punkts (V t ) in Bezug auf die beiden Schnitt- 

 punkte der Congruenzgerade mit der Flache Fv. Dieser conjugate 

 Punkt ist der Punkt F 2 . Der Deutlichkeit wegen werden wir ein 

 Gebilde von Punkten V t und das entsprechende von Punkten V 2 

 complement are Figuren nennen. 



Es sei gegeben ein horizontaler Kreis, der die Gerade 1 schnei- 

 det; wir wenden auf ihn die in volutorische Transformation (V t , V s ) 

 an. Die Complementdrcurve des Kreises ist eine Gerade, welche die 

 Gerade I trifft. Umgekehrl : die Complementdrcurve einer Gerade, 

 welche die Gerade I schneidet, ist einer horizontaler Kreis, der auch die 

 Gerade I trifft. Dieses schliesen wir daraus, dass das Compiemen- 

 targebilde einer Horizontalebene E v eine Ebene g v durch die Ge- 

 rade I ist, dass ferner zwei entsprechende Punkte V, und V a 

 nnmer auf eine Gerade der Congruenz B v gelegen sind. 



Das Coniplcmnihny/rhihlr ri,ws lli/perhido/ds I! mit horizontalem 

 Kreisschnitte, welches die Gerade I enthalt, ist ein Hyperboloid dersel- 

 ben Eigenschaften. Auf detn gegebenen Hyperboloide kan man 

 nehmlich unendlich viele Geraden, welche die Gerade 1 schnei- 

 den, Ziehen; folglich liegen auf der Complementarfigur unend- 



