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Es seien V, und V 2 Complementarpunkte der Congruenz- 

 gerade a v . Den Geraden x V, und x V 2 entsprechen somit zwei 

 Generatricen, welche durch denselben Punkt der Doppelgerade 

 X w gehen. 



Den Geraden g der Ebene Uv entsprechen im Allgemeinen auf der 

 Linienjhiehc l \ v Kegelschnitte gw, deren horizontal Project 'ionen Kreise. 

 die einen festen Punkt enthalten, sind. Dieser feste Punkt ist der 

 Durchsnittspunkt der verticalen Doppelgerade X w mit der horizon- 

 talen Bildebene. 



Durch unsere Transformation icird die descriptive Geometrie der 

 Ebene auf die Linienfldche, dritten Grades, uberfuhrt. Es ist ein- 

 leuchtend, dass diese Geometrie der Linienflache dritten Grades 

 in dernselben Verhaltnisse zu derjenigen der Ebene steht, welche 

 Kreise durch einen festen Punkt als Gerade benutzt, als die Chas- 

 lesche Geometrie der Flache zweiten Grades zu der allgemeinen 

 Geometrie der Ebene. 



' ■ • - >ttc k Y der Ebene Uv entspricht im Allgemeinen 



auf der Flache Uw eine geschlossene Raumcurve kw merter Ordnung. 

 Wenn der gegebene Kegelschnitt den Punkt x enthdlt, so gcht er in eine 

 Raumcurve drifter Ordnung mit einem nnendlich entfernten Punkt e uber. 



Eine beliebige Gerade der Ebene U v trifft nehmlich den Ke- 

 gelschnitt k v in zwei Punkten. Mithin schneiden sowohl die Er- 

 zeugenden als die Kegelschnitte g w die Raumcurve k w in zwel 

 Punkten. Die Ebene eines Kegelschnitts g w , welche ohnedies die 

 Flache U w in einer Erzeugende schneidet , enthalt somit tier 

 Pnnkte von der Raumcurve k w . Wenn der gegebene Kegelschnitt 

 k v den Punkt x enthalt, so trifft die Raumcurve die Erzeugenden 

 in nur einem Punkte. Wenn wir endlich bemerken, dass der 

 Punkt x der einzige der Ebene U v ist, dem unendlich entferrite 

 entsprechen, so ist unserer Satz bewiesen. 



Durch ahnliche Betrachtuugen sieht man ein, dass eine Cur*e 

 der Ebene U v n'r Ordnung im Allgemeinen in eine geschlossene 

 Raumcurve von 2n'r Ordnung ubergeht ; wenn die gegebene Curve 

 den Punkt x enthalt, so ist die entsprechende Curve von der 

 Ordnung 2n— 1; sie enthalt einen unendlich entfernten Pun kt - 



