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I. Eine Ebene des Raumes Rv geht im Allgemeinen in eine Linien- 

 flache dritten Grades uber. Die Gerade 5 ist die Doppelgerade der- 



Falle ging diejenige Gerade der Congruenz B v , welche in der 



besleht die Congruenz B v von den Geraden durch diesen Punkt 

 und die Horizontalebene durch denselben. Es ist die Durchschnifcts- 

 gerade dieser letzten Ebene rnit der gegebenen Ebene, welche 

 sieh in die Doppelgerade 8 transfer mirt 



II. Es sei gegeben im Raume R v eiu Hyperboloid mit hori- 

 zontalem Kreisschnitte, welches den Punkt B v - (nicht die Gerade 1) 

 enthalt. Der Grad der entsprechenden Flache des Raumes R w 

 ist = 2 . 3 — 2 — 1 = 3. Der in verticaler Richtung unendlich 

 entfernte Punkt B w ist ein Doppelpimkt dieser Flache dritten Grades. 



Die vier Erzeugenden des Hyperboloids, welche die Gerade 

 1 treffen, gehen in vier Geraden uber. Die zwei horizontalen 

 Kreise des Hyperboloids, welche die Gerade 1 schneiden, geben 



punkte db x.und noch eine unendlich entfernte Gerade) enthalt. 



Die Erzeugenden jedes Systems des Hyperboloids geben Ke- 

 gelschnitte, welche eine feste Axe enthalten. Soinit erkennen wir 

 noch zwei reelle Geraden, auf unserer Flache, dritten Grades. 



Die Kegelschnitte des Hyperboloids, welche den Punkt B v 

 enthalten, gehen in Raumcurven dritten Grades uber, welche den 

 Doppelpunkt der Flache enthalten. 



III. Es sei gegeben im Raume Ry. eine Linienflache U r , drit- 

 ten Grades, welche einen horizontalen Kreis enthalt. Wenn die 

 Gerade 1 die einzelne Leitlinie derselben ist, so ist die entspre- 

 chende Flache U w eine Linienflache funften Grades (9 — 2 — 2 = 5). 

 Die Doppelgerade der Flache U v wird ein DoppeUtegelschnitt. Die 

 Ebene g v ' schneidet die Flache Uv in zwei Erzeugenden, somit 

 ist die Gerade s eine Doppelgerade der Flache U w . Die Kreise 

 der Horizontalebene D, deren Pnnkten I-Punkte W derselben 

 Lage auf der Gerade 5 enlsprechen, schneiden die Flache U v in 



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