1894.] 



OM DIFFERENTIALLIGNINGER. 



5 



I. Existensen af differentialligninger, der besidder første 

 fundamental- integraler. 



Lad os betragte følgende system af ordinære differential- 

 ligninger : 



m-f-l m m 



i \ d x { -.-f f d xi dx n dx\ dx n ' 



(i = 1, 2, 3 . . . n). 

 Et almindeligt første integral være : 



[m m — 1 «i — 1 



2) Xi = f i (xi. . . x n , Xi.. x Hi t, ai.. a»), 



(i >m 1, 2 ... ri) 



idet vi her og i det følgende benytter betegnelsen xf istedetfor 

 d k x 



—r 1 - Ved a. ... a n forstaaes integrations-constanter; tildeles 

 at* 



disse specielle værdier, faar vi visse particulære første integraler. 

 Vi forlanger nu, at den almindelige første løsning (2): 



mm m 



X l X 2 ... X H 



lader sig udtrykke ved et bestemt irreduktibelt antal partikulære 

 første løsninger: 



rn mm m .mm 



3) X n . . . X n l , X 12 .... X n 2 , i X t p . . . X np 



og n arbitrære konstater b l . . b n paa en eneste bestemt maade 

 f. ex. ved følgende formel: 



. m m m mm 



Xi = (fri (x n ... x n i , . . . , X t p . . . x n p , b l . . b n ), 

 (i = 1, 2, 3 . . . ri) 



hvor denne formel bestaar uafhængig af valget af de particulære 

 løsninger (3), der imidlertid samtlige erholdes ved particularisa- 

 tion af constanterne (a) i ligning (2). 



Skriver vi i formel (4) de arbitrære constanter hip for- 

 skjellige værdisystemer, saa erholder vi ligningerne: 



m m ru m m 



5) x\ 3 = øi (x u . . . X m \ , , x lP - . . . x np , b tJ . . . b nj ), 



(i = 1, 2 n,j = 1, 2 ... p) 



hvilke ligninger definerer en enkelt transitiv endelig continuerlig 



m M 



transformations-gruppe i de variable x\j og xy med parametrene 

 bj b nj : 



