6 



ALF GULDBERG. 



[No. 1. 



Vi faar nemlig paa samme maade: 



Xij = @i (x u . . . x n \ , , x lp . . .x np , b t j . . . b nj ) 



(i = 1, 2 ...»,/ — 1, 2 . . . p) 



m 



Indsættes heri værdierne for xUj af ligningerne (5), erholdes: 



æ t> - = fø (æ u ... Xnpbij ,bj) ø n (x tl . . . X np , b t j . . . bnj), 



. . . b\j . . . b^], 

 (i = 1, 2 ... n, j — 1, 2 ... i?) 



der ifølge vor forudsætning reducerer sig til: 



Xy =• . . . X\ n . . . . . , . . . x n p , b t j . . . b n jj' 



{i — 1, 2 ... w, i = 1, 2 ... p) 



Ligningerne (5) definerer følgelig en endelig continuerlig trans- 



( m m 



formations-gruppe i de variable x tj og x$ med parametrene 

 b ... b n j. At den erholdte gruppe er transitiv felger af, at in- 

 transitivitet vilde føre til relationer mellem de partikulære løs- 

 ninger. 



Da den forelagte gruppe er enkelt transitiv, kan man, ifølge 



en bekjendt sats af Lie, vælge parametrene b saaledes, at man 



/ m 



erholder en enkelt transitiv gruppe i a? t y og b t j med parametrene 



m 



Xij . Dette forudsat, tænke vi os parametrene b i ligningerne 

 (5) valgte saaledes. at ligningerne: 



m m m m m 



X ij = (Pi \X lt . . . x ni , . . . . , X t p . . . X n p, bj .... b n j) 



(i = 1, 2 . . . n y j — 1, 2 . . . *p) 

 definerer en enkelt transitiv gruppe i de variable x# og med 



m m 



parametrene x lt .... x np \ men heraf følger direkte, at ligningerne: 



m m m in m 



X % ~ = ( Pi \X tl . . . X n \ , . . . -, X\p .... X )t p , b x . . b n j 



(i = 1, 2 ... n) 



m 



definerer en p - dobbelt transitiv gruppe i de variable x* og bi 



ni m 



med parametrene x u ... x np . 



Vi ser altsaa, at skal systemet (1) be sidde første fundamen- 

 tal-integraler, vil der altid existere en første almindelig løsning 

 af den egenskab, at den optræder som de afhængige variable 

 ved en ^-dobbelt transitiv gruppe i n variable. 



Omvendt vil, hvis vi ved en given ^-dobbelt transitiv gruppe 



