1894.] 



OM DIFFERENTIALLIGNINGER. 



7 



opfatter de afhængige variable som en første almindelig løsning 

 af et system af differentialligninger af mte orden (altsaa som 



m-l m-l 



funktioner af en række størrelser x x . . . x n , x t . . . x ni t, 



m-l 



hvor x x .... x n tænkes at være funktioner af t), dette system 

 besidde første fundamentaMntegraler ; thi man kan altid ved 

 differentiation efter t og elimination af de uafhængige variable, 

 der ved differentiation er opfattet som constanter, medens para= 

 meterne opfattes som funktioner af de ovennævnte størrelser, 

 danne et system af differentialligninger af mte orden, der 

 besidder en almindelig første løsning af den forlangte beskafs 

 fenhed. 



Vi kan altsaa opstille følgende sats : 1 



Bestemmelsen af differentialligninger, der besidder første fun- 

 ■damental-integraJer, Jean tilbageføres til bestemmelsen af de p- dobbelt 

 transitive endelige continuerlige transformations grupper i n variable. 



Før vi gaar over til opstillingen af disse differentiallignin= 

 ger og deres integration, vil vi minde om to vigtige theoremer 

 af Lie angaaende p- dobbelt transitive endelige, contiuuerlige 

 grupper. 



1. En endelig continuerlig transformations gruppe i n vari- 

 able er i det høieste n -j- 2 dobbelt transitiv. 



2. Er en endelig, continuerlig transformations gruppe i n va- 

 riable n -f- 2 dobbelt transitiv, saa er den aequivalent med den al- 

 mindelige projective gruppe i n variable. 



Af disse to fundamentale theoremer følger, at p ikke kan 

 « overskride værdien n -f- 2 ; de værdier, den kan antage, bliver 

 følgelig 1, 2 . . . n + 2, og i tilfælde, at p = n 2, er gruppen 

 aequivalent med den almindelige projective gruppe i n variable. 



Disse bemærkninger leder os til at opstille som et corrolær 

 følgende sats: 2 



Der existerer ved et system af n ordinære differentialligninger 

 af m:te orden i det høieste n + 2, hørende til samme system, af 

 hinanden uafhængige particulære første løsninger, af hvilke samtlige 



1 Guldberg: Comptes rendus 24 Juli 93. 



2 For det speciell. tilfælde at n = l, i» = l kommer vi til en bekjendt 

 sats af Koenigsberger, Acta Math. t. III p. 48. 



