8 ALP GULDBERG. [Xo. 1. 



øvrige til samme system hørende første løsninger lader sig bestemme. 

 En almindelig første løsning af systemet kan i dette tilfælde ved en 

 punkttransformation, til hvis bestemmelse kun algebraiske operationer 

 er nødvendige, bringes paa den almindelige projective gruppes form. 



II. Opstillingen af de typer, hvortil enhver differentiailig- 

 ning, der besidder første fundamental-integraler, kan 

 tilbagefores ved en punkttransformation og 

 disse ligningers integration. 



Ifølge vor sats er bestemmelsen af differentialligniuger med 

 første fundamental-integraler tilbageført til bestemmelsen af de 

 p - dobbelt transitive grupper i n variable ; det gjælder altsaa for 

 opstillingen af hine ligninger at kjende disse. 



I tilfælde, at n = 1, 2, 3, er overhovedet alle endelige con- 

 tinuerlige grupper bestemte af Lie. I disse tilfælde kan man 

 derfor gi ve et fuldstændigt sch erna over de typer, hvortil man 

 ved en punkttransformation kan tilbageføre ethvert system af 

 differentialligninger med første fundamental-integraler. I det 

 almindelige tilfælde, hvor n har en vilkaarlig værdi, er de p- 

 dobbelt transitive grupper endnu ikke bestemte, men ifølge en be- 

 kjendt sats af Lie fordres hertil kun udførbare operationer. Vi vil 

 imidlertid i det følgende indskrænke os til at behandle det tilfælde, 

 at n — 1, med andre ord vi betragter kun en differentialligning. 



Vi erholder følgende tre typer for disse differentialligninger : 



l (m+i) (rø) 3 (w) 2 Cm) 



x -f fax + fax + fax -f fa = 0, 



hvor der bestaar en bestemt relation mellem Terne og deres 

 deriverte; lad os betegne den med: 



F(fa... fa, Ai'...) = 0. 

 En første almindelig løsning har formen: 



(m) (m) (m) (m) (w) (rø) 



(m) _ x 2 (xi —x% ) a + xi Qr 3 —x 2 ) 



X (m) (rø) (rø) (rø) 



(xi —Xz ) a + (#3 — x 2 ) 



