1894.] 



OM DIFFERENTIALLIGNINGER. 



9 



(m+l) 



(rø) (rø) 



2. 



-f- l\x + Å2X ~\- h — 



med en relation: 



En første almindelig løsning er: 



(rø) (w) f<i (rø) 



æ = rø (1— «) #2 



En første almindelig* løsning er: 



(w) (t 



x = X\ 



(m) 



I disse ligninger betegner a en vilkaarlig constant, x { et 

 particulært første integral, //erne vilkaarlige funktioner af t, x, 



x' ... x , kun underkastede betingelsen = 0. Bestemmelsen 

 af denne sidste ligning forlanger kun differentiation og elimination 

 af visse størrelser, idet man nemlig har at opstille integrabilitets- 

 betingelserne for, at et system af (p H- 1) differentialligninger mel- 

 lem p funktioner er integrerbar ; i det specielle tilfælde m — l skal 

 vi senere bestemme den. 



I det vi nu gaar over til at udvikle en integrationstheorie 

 for disse ligninger analog Galois's theorie for de algebraiske lig- 

 ninger, menes stadig ved at integrere vedkommende differential- 

 ligning at reducere den til en differentialligning af en enhed 

 lavere orden, med andre ord at linde et første almindeligt inte- 

 gral i ligningen. Har man fund et m + 1 af hinanden uafhængige 

 første almindelige integraler, findes,. som bekjendt, det alminde- 

 lige integral ved elimination af de m differentialkvotienter x' x" . . . 



• x mellem de fundne ligninger. 



Hvis vi skriver den p- dobbelt transitive gruppe, hvoraf den 

 betragtede differentialligning er afledet, i p systemer af de vari- 

 able, erholder vi ved forandring af variable og parametre en 

 enkelt transitiv gruppe i p variable, hvor de variable er første 



{m-l) 



