10 



ALF GOLDBERG. 



[No. 1. 



integraler, parametrene funktioner af den arbitrære integrations- 

 konstant; vi vil betegne den saaledes erholdte gruppe med G. 

 Da vi i det felgende kommer til at betragte rationale funk- 



(m) m-l 



tioner af æ t (i = 1. 2. 3), deres deriverte og t, x, x* ... x , vil 



(ro) 



vi for kortheds skyld betegne en saadan funktion med R (x { ). 

 Ved invariante funktioner forstaar vi de af disse, der tilsteder 

 samtlige 6r's transformationer. Paa grund af sin dannelsesmaade 

 er coefficienterne X invarianter ved 6r, samt af hinanden uafhæn- 

 gige, fraseet relationen F = 0. 



Vi vil nu bevise følgende, til Galois's bekjendte theorem gan- 

 ske analoge sats: 



Enhver differentialligning, der besidder første fundamental- 

 integraler, er tilordnet en endelig continuerlig iransformationsgruppe 

 G, der har følgende egenskaber: 



1. Enhver rational funktion af de første integraler R {x ( " l \ 

 der er invariant ved G, lader sig udtrylclce rationalt ved den uaf- 

 hængige variable, den afhængige variable og dennes m — 1 første 

 deriverte, ligningens coefficienter og deres deriverte. 



2. Enhver rational funktion R (#!"°), der lader sig udtryMe 

 rationalt ved disse elementer, er invariant ved G. 



Existensen af transformations gruppen G ved en diffe- 

 rentialligning med første fundamental-integraler er af det fore- 

 gaaende godtgjort; det gjælder altsaa kun at vise, at den har 

 de i satsen paastaaede egenskaber. 



Lad R(x- H) ) være invariant ved G\ vi kan da ved hjælp 

 af den givne differentialligning bortskaffe af R (x ( " l) ) saavel ' 1} 

 som samtlige høiere deriverte; vi faar saaledes: 



R (Xi ) = Bl (Xi K\' .. ., /i . . .) 

 Da /'erne og følgelig ogsaa deres deriverte er invarianter 

 ved 6r, faar vi. idet vi udfører G paa Rn 



R 1 (x'T\ h . . ., h\ . .) — -Ri \ h. ., hf . • •) 

 en relation, der maa være identisk i x" 1 og Terne, da man 

 ellers vilde faa en relation, foruden F = 0, mellem Terne. R* 

 tilsteder saaledes G enten vi opfatter Terne som funktioner af 

 x { " x) eller som uafhængige af samme. 



