1894.] 



OM DIFFELIENTIALLTGNIXGER 



11 



Nu erholdes imidlertid invarianterne ved G 1 som bekjendt, 

 ved at udvide de infinitesimale transformationer og bestemme løs- 

 ningerne af det saaledes erholdte komplete system. Disse løs- 

 ninger maa idet mindste indeholde æ* +t * Da vi nu imidlertid 

 af JR {xf*) kunne eliminere xT +1) og høiere deriverte, og da vi 

 i den erholdte invariante funktion kunne betragte x t m og /'erne 

 som af hinanden uafhængige, kan paa grund af foregaaende be- 

 mærkning xj n) overhovedet ikke optræde i R L . 



Den anden egenskab ved G, at enhver rational funktion 



der lader sig udtrykke rationalt ved t, x x /'erne 



og deres deriverte, er invariant, er r umidelbart indlysende; thi 

 er R(x" l] ) den givne funktion, saa har vi: 



Vi vil fremdeles, analogt med de algebraiske ligningers 

 theorie, søge at reducere den givne differeutiallignings integration 

 til integrationen af en række hjælpeligninger. 



Den givne lignings coofficienter l er, som bekjendt, rationale 

 funktioner af t, x, . . . x™ vi kan nu tænke os visse nye funk- 

 tioner af de samme størrelser, hvilke ligeledes er at betragte 

 som rationale. Disse funktioner tænkes at indgaa i den givne 

 differentiallignings coefficienter, de siges at være ligningen Jil- 

 føiet". Det gjælder derfor at finde saadanne funktioner, at man 

 ved at tilføie dem faar reducere t den givne lignings gruppe. 



Vi beviser følgende sats: 



Dersom vi tilføier en vis rational fanldion af de første inte- 

 graler six t m) )j der kun tilsteder en undergruppe r af G, vil den 

 givne lignings gruppe reducere sig paa r. 



itn) 



Thi efter tilføielse af vil de funktioner, der lader 



sig udtrykke rationalt ved ligningens coefficienter, ogsaa udtryk- 

 kes rationalt ved S^xT*) og deres deriverte. Disse funktioner 

 kan imidlertid, ifølge betingelsen, ikke tilstde nogen større 

 gruppe end r, altsaa vil den givne lignings gruppe reducere sig 

 paa r. 



Af denne sats følger med lethed følgende theorem, der er et ana- 



