ALF GULDBERG. 



[No. 1 



logon til Lagranges bekjendte sats om de rationale funktioner af 

 redderne i en algebraisk ligning : 



Hvis den rationale funJction tilsteder de samme trans- 



formationer afG, som den rationale funJction R(oc™ ] ), saa lader S(x^) 



m—l 



sig udtryJcke rationalt ved R, a: erne, deres deriverte og t, x ... x. 



Lad os kalde den gruppe, som de transformationer, hvilke 

 tilsteder, for R. Tilfeier vi S(x t m ) til den givne ligning, 

 reducerer ifølge foregaaende sats transformationsgruppen G sig til 

 T; denne gruppe lader nu imidlertid ogsaa invariant, altsaa 



ifelge vor liovedsats lader Rix^) sig udtrykke ved de i satsen 

 nævnte elementer. 



Lad nu rLx^) være en rational funktion af de ferste inte- 

 graler, der tilsteder en undergruppe R med f. ex. = p-s in" 

 finitesimale transformationer. Udferer vi £'s transformationer 

 paa R, erholder vi, ifelge en bekjendt sats af Lie, en ny funk- 

 tion, lad os kalde den V, der af hænger af s parametre. Diffe- 

 rentierer vi V s ganger og eliminerer parametrene, erholder vi 

 en algebraisk differentialligning af ste orden, hvis coefficienter 

 er funktioner af x? og deres deriverte. Udferte vi en vilkaar- 

 lig transformation af G paa R og foretog de samme operationer, 

 fik vi selvfelgelig en identisk ligning, hvor coefficienterne kun 

 var forskjellige fra de gamle, idet der optraadte for x" f. ex. 

 x l" , med andre ord, coefficienterne i den erholdte differential- 

 ligning er invariante ved G, kan altsaa udtrykkes rationalt ved 

 Terne, deres deriverte og t, x, x' . . . x* . Tilfeier man nu inte- 

 gralerne i denne hjælpeligning til den givne differentialligning, 

 saa reducerer felgelig den oprindelige lignings gruppe G sig til 

 den gruppe, der er fælles for disse integraler o: undergruppen R. 



Betegne vi den differentialligning af ste orden, der bestem- 

 mer V med 



*(F) = 0, 



saa kan man ganske analogt med Vessiot 1 vise, at denne differential- 

 ligning er tilordnet en transformationsgruppe g, der spiller samme 

 rolle ved denne sidste ligning som G overfor vor oprindelige diffe- 



1 Vessiot:- Annales de 1'ecole normale, 1892 p. 226 fg. 



