1894.] 



OM DIFFERENTIALLIGNINGER. 



13 



rentialligning. Endvidere er g isomorf med G og er en enkel 

 gruppe, naar r er en invariant maximums-undergruppe af G. 

 Dekomponerer man derfor G normalt, bliver ordnen af de erholdte 

 hjælpeligninger den mindst mulige og lig decompositions-indexerne. 

 Er specielt den givne gruppe G integrabel, overstiger ordnen af 

 hjælpeligningerne ikke enheden. 



Ved den her i korte træk skitserede integrations-theorie er 

 vist, hvorledes man fra kjendskabet til den givne differentiallig- 

 nings gruppe, kan reducere den givne lignings integration til 

 iutegrationen af en række hjælpeligninger, der i første linje af- 

 hænger af den givne differentiallignings gruppes struktur. Er 

 denne integrabel, indtræder, som nævnt, en væsentlig simplifika- 

 tion af disse ligninger. Kriteriet herpaa er givet ved følgende 

 vigtige theorom af Engel: 



De nødvendige og tilstrækkelige betingelser, for at en gruppe 

 er integrabel, er, at den ikke indeholder nogen undergruppe med 

 3 parametre af samme struktur som den almindelige projective 

 gruppe i en variabel. 



Hvad i det foregaaende er sagt om integrationen af diffe- 

 rentialligninger med første fundamental-integraler udstrækker sig 

 umidelbart ogsaa til det tilfælde, at vi istedetfor en ligning har 

 et system af saadanne. Idet vi forbeholder os ved en senere 

 leilighed at komme tilbage til en rationel gjennemførelse af den 

 her udviklede integrations-theorie for et vilkaarligt mogw samt 

 bestemmelse af betingelsesligningerne F = 0, gaar vi over til en 

 nærmere undersøgelse af det specielle tilfælde m — 1, med an- 

 dre ord til diiferentialligninger af 2den orden. 



III. Differentialligninger af 2den orden, der besidder 

 første fundamental-integraler. 



Ved den følgende undersøgelse af differentialligninger af 

 2den orden med første fundamental-intet>ialer viser det sig, at 

 vi træffer paa en række differentialligninger, der er undersøgte af 



