14 



ALF GULDBERG. 



[No. 1. 



Liouville, Lacroix, Steen og andre, men alle under forskjellige 

 synspunkter. Det, hvorpaa vi derfor ønsker at rette opmærk- 

 somheden, er, at alle disse tilsyneladende tilfældig optrædende 

 differentialligninger danner en sluttet klasse, hvis rationelle inte- 

 gration grundes paa betragtning af den til hver ligning tilord- 

 nede endelige gruppe, fra hvilket standpunkt betragtet deres 

 integration (d. v. s. reduktion til en differentialligning af Iste 

 orden) fuldstændig svarer til integrationen af den lineære diffe- 

 rentialligning af Iste orden uden bekjendt led, med bekjendt 

 led og den Riccati'ske differentialligning. 



Vi kan saaledes med hensyn til den siste type udtale en 

 sats, der er fuldstændig analog Darboux's bekjendte theorem om 

 dobbeltforholdet mellem fire partikulære integraler i den Riccati- 

 ske differentialligning. Ikke uden interesse tør maaske ogsaa den 

 bemærkning være, at, da samtlige til samme system hørende før- 

 ste partikulære integralers algebraiske singulariteters beliggen- 

 hed er uafhængig af$ den arbitrære integrations-konstant, vil 

 differentialligningernes integration lede til betragtninger analoge 

 Poincarés bekjendte undersøgelser af de lineære differentiallig- 

 ninger. 



De tre typer, hvortil enhver differentialligning af 2den or- 

 den med første fundamental-integraler ved en punkttransformation 

 kan tilbageføres, erholdes ved i de opstillede typer paa side 8- 

 at sætte m — 1. 



Vi faar saaledes følgende Differentialligninger: 



u 3 2/ 



1. x = l\{xi) x' H- h{x,t) x' + fø{xjt) x + h(x,t) 

 med en betingelsesligning: 



f(X t .. k, h ...) — 

 En første almin delig løsning er: 



x , = x^x—x'^ a + x[{Xs— x'j 



2. 



n 8 f 



x — Xi(x,t) x' -f- h(oc,t) x -\- h(x,t) 



