IS 



ALF GrULDBEKG. 



[No. 1. 



I første tilfælde er det første almindelige integral: 



1 f). i åx l f ^åxi f -fhåx r 

 -e -\--e J J he velt + J t 



fhåx 



= a.-e -\-~~e U he velt -4- J e h&åx 



v v 



få -A* 



og i andet tilfælde har et første almindeligt integral formen 



, fhåx 1 fhåx\ f -fhåx f « -fhåx] 



æ' = a. . 



v v \ åt 



Det staar altsaa tilbage at integrere den lineære differential- 

 ligning af 2den orden, der bestemmer v\ vi vil skrive den for 

 kortbeds skyld: 



v" + a(ty -f ${t)v = 0. 



Indskrænker vi os til det tilfælde, at a og <i er algebraiske 

 funktioner af t, udføres integrationeu ved at soge ligningens 

 gruppe (o: diskontinuerlig gruppe), til bestemmelse af hvilken 

 det er tilstrækkeligt at kjende dens fundamental-invarianter. 1 

 Besidder ligningens gruppe kun et endeligt antal substitutioner, 

 er alle integraler algebraiske og regulære i omgivelsen af ethvert 

 singulært punkt. For at ligningen skal være integrabel ved 

 quadratur (d. v. s. at dens integration reducerer sig til inte- 

 grationen af lineære differentialligninger af Iste orden) forlanges 

 ifølge et bekjendt theorem af Liouville 2 , at den logarithmisk 

 deriverte af et af dens integraler maa være rational. 



Afhænger i vor oprindelige differentialligning: 



i 



2 



x" = h t)x' -f- h{x, t)x' -f- h(x, t) 



coefficienterne rationalt af x alene, eller af x ogV (1 — x 2 ) (1—X a x 2 ) r 

 erholdes ifølge et theorem af Painlevé det almindelige integral 

 i ligningen ved quadratur eller kan tilbageføres til integrationen 

 af en Riccati'sk differentialligning med periodiske coefficienter. 



1 Poincaré: Acta Math. t. 4 p. 201 fg. Et analytisk udtryk for disse 

 er gi vet af Vogt : Sur les invariants fondamentaux des équations dif- 

 férentielles linéaires du second ordre. Paris 1889. 



2 Liouville: Journal de Math. l ier Serie t. 4 p. 423. 



