1894.] 



OM DIFFEKENTIALLIGNINGER. 



19 



Ikke uden interesse er den bemærkning, at man altid kan vælge 

 integrations-constanterne saaledes, at det almindelige integral 

 af hænger algebraisk af idetmindste en af dem *. 



Den første type for differentialligningerne af 2den orden er : 



3 2 



x" = l^x, t)x' -f Mx, t)x' -+- ^(x,t)x' + Mx, t) 

 med en betingelsesligning: 



f(h. . fa\ Xi . .) = 0. 

 Vi kan analogt med ovenfor skrive et ferste almindeligt 

 integral under formen: 



, = ei{x,i)a -f- 6*(x, t) 

 X Ø 3 (x,t)a + Øi{x,t)' 



Differentierer vi, eliminerer konstanten a og sammenligner 

 med hovedligningen. erholder vi til bestemmelse af Ø'erne føl- 

 gende system af fire simultane partielle differentialligninger : 



Jk t = 



n å0 3 dø, 



04~i Øz-r. — 



6x 6x 













n åøi åø. 



, n 602 



603 



-&2-J 



OX 





04* 

 OX 



4h = 



„ åØi 602 



02 Ti ftj 



6x l 6x 



, n å02 



+ 03 åT- 



-0^ 



U2 åt 



+ * 



n 6&! 

 ~ øi 6T 



Jh = 



åø, 602 



Ø *ål — d, dT, 











hvor vi for kortheds skyld har sat: 



Øs 02— 04 01 = 4 • 



Vi vil i det følgende kun behandle et specielt tilfælde af 

 disse ligningers integration, i det vi Vil forudsætte, at 



^4-^ = 

 åx åt 



tø* , tø* _ n 



åx + åt ~ 



Ifølge den oven opstillede form for et første integral, der 

 opløst kan skrives: 



(Øadx—Øidt)a -f- (04dx—0 2 dt) = 

 er denne forudsætning, som man ser, betingelsen for, at denne 

 sidste differentialligning er et exakt differential. 



1 cfr. Painlevé: Comptes rendus 24 Juillet 93. 



