1894.] 



OM DIFFEREJSTIALLIGNINGEK. 



23 



særdeles simpel, medens den for ligninger af Iste types form 

 forer til temmelig complicerede udtryk, hvis gjennemforelse imid- 

 lertid er fuldstændig analog med de nedenfor betragtede to 

 tilfælde. 



Vi betragter først en differentialligning af formen: 



2 



p\(xjb)x" = p2(x,t)x' -\- p 3 (x,t)x' . 

 Skal den besidde /"ørste fundamental-integraler af 3die type, 

 maa følgende ligninger finde sted mellem coefficienterne : 



åx 



r---»- 



Finder disse ligninger ikke sted, vil vi søge at bestemme en 

 multiplikator v(x,t), saaledes at de nye coefficienter pw , p2v , p%v 

 tilfredsstiller et saadant system partielle differentialligninger. 



Dette giver til bestemmelse af v følgende to differential- 

 ligninger: 



Sv ,åpi , „ 



hvor ved integrationen t er at betragte som en constant i Iste 



ligning og x som constant i 2den ligning. 

 Vi kan saaledes opstille følgende sats: 

 Integrationen af en differentialligning af formen: 



2 



p\{xf)x" = p2[x,t)x / + ps(x.t)x' , 

 der kan gjøres integrabel ved en multiplikator v(x,t), afhænger a f 

 bestemmelsen af en løsning af to lineære differentialligninger af 

 Iste orden. 



Er v(x,t) bestemt, er et første almindeligt integral i ligningen: 

 x ' = Pi{xf)v{xJ) . a 

 hvor a er en arbitrær integrationsconstant. 



Et specie.lt tilfælde af det her behandlede er, at ved en 

 given differentialligning: 



2 



p^x^x" = p 2 (x,t)x / + p%(x,t)x' 



