1894.J 



OM DIFFERENTIALLIGNINGER. 



27 



antager ligningen til bestemmelse af v formen: 



Sv f åp 



å 2 v . Sv f n åp l . \ dv 



uden nogen speciel forenkling af opgaven. 



En række meget instruktive exempler paa denne slags lig- 

 ninger findes i den af Steen oven citerede af handling; særlig 

 interessant er hans behandling af den homogene differential- 

 ligning, hvor han blandt andet viser, at der opstaar fem til- 

 fælde, hvor ligningen fuldstændig kan integreres. 



Hvad angaar differentialligninger af den Iste types form: 



3 2 



(I) p l (x, t) x" =p s (x, t) x' -\-p% {x, t) x' -f p 4 (x, t) x' -\-p- (x, t) 



er fremgangsmaaden med hensyn til bestemmelse af en multipli- 

 kator v (x, t) den samme. Da regningen imidlertid bliver 

 temmelig compliceret, skal vi kun i korte træk antyde den. 

 Skal ligningen (I) besidde første fundamental-integraler kan 

 et første almindeligt integral som før vist skrives under formen: 



, e l (x, t) a + 2 {x, t) 

 X ~~ Qz {x, t) a-f 04 (x, t) ' 



hvor Ø'erne bliver at bestemme af 5 bestemte partielle differential- 

 ligninger, der erholdes ved i de paa side 9 opstillede lig- 

 ninger at sætte 4 =1 og h =Pi+i (i = 1, 2, 3, 4) samt til disse 

 ligninger at føie pi = 3 2 — 4 6 V Dividerer vi imidlertid i 



CL — 1— 



broken - 1 — —~ tæller og nævner med 4 og sætter: 



03 Cl -f- Ø4 



04 (X,t) V ' 04 {X, t) 7 ' 04 {X, t) 



erhfjlder vi et nyt udtryk for et første almindelig integral: 



, ' B(x,t)a + A (x, t) 

 X ~~ C{x,t)a+\ 



Differentieres dette, elimineres a og sammenlignes med lig- 

 ningen (I), erholdes til bestemmelse af A, B og C følgende 

 ligninger: 



