1894.] 



OM DIFFERENTIALLIGNINGER. 



29 



Idet vi hermed afslutter disse betragtninger af differential- 

 ligninger af 2den orden med ferste fundamental-integraler, vil 

 vi blandt de forskjellige problemer, hvor disse differentialligninger 

 spiller en rolle, særlig nævne bestemmelsen af de geodætiske curver 

 paa en given flade. 



IY. Differentialligninger, der besidder irreductible 

 fundamental-integraler. 1 



Som allerede i begyndelsen meddelt, er Konigsberger den 

 ferste, der nærmere har undersøgt saadanne differentialligninger; 

 han indskrænker sig imidlertid til ligninger af Iste orden. Han 

 formulerer sit problem paa følgende maade: 

 „sammtliche Differentialgleichungen : 



anzugeben, fiir welche sich alle Integrale durch n selbståndige 

 nicht algebraisch mit einander verbundene Transcendenten und 

 durch nicht weniger, algebraisch ausdriicken lassen oder ånders 

 ausgesprochen, welche nur n algebraisch von einander unab- 

 håDgige transcendenten Integrale besitzen, oder endlich auch, 

 da in das allgemeine Integrale eine willkurliche Constante ein- 

 treten muss, alle Differentialgleichungen (1) zu charakterisiren, 

 fiir welche das allgemeine Integral x eine algebraische Funktion 

 von n algebraisch von einander unabhångigen transcendenten 

 Integralen X j X% » s . X fi , der unabhångigen Variablen t und einer 

 willkurlichen Constanten 



X — f (t^ X^ , X^ . . X fi , c) 



ist/' 2 



De resultater, hvortil Konigsberger kommer, er, som allerede 

 før nævnt, at der kun findes tre ligninger med disse egenskaber, 

 nemlig den lineære differentialligning af Iste orden uden bekjendt 

 led, med bekjendt led og den Riccatiske Differentialligning. 



1 cfr. Lie^s alleredo tidligere nævnte vigtige af handling i Math. Ann. 

 bd. 25 p. 128 og Lie: Leipziger Berichte for 93 p. 341 fg. 



2 Konigsberger, Acta Math. t. 3, p. 1 fg. 



