32 



ALF GrULDBERG. 



[No. 1. 



Konigsberger bemærker endvidere, at man i dette tiltælde 

 endog kan udtrykke det almindelige integral i differentialligningen 

 (a) alene ved et partikulært integral. Thi bestaar der mellem 

 to fundamental-integraler af en homogen, lineær differential- 

 ligning af 2den orden og den uaf hængige variable t en algebraisk 

 relation, da existerer der ogsaa to partikulære fundamental- 

 integraler, der tillige er integraler i en homogen, lineær diffe- 

 rentialligning af Iste orden, altsaa har formen: 



fcp x {i)dt f<p*{t)dt 

 U x =e ' U 2 = e ' 



hvor cp x og cpi betyder algebraiske funktioner af t. De til- 

 svarende partikulære integraler i (a) bliver: 



2L X — — y 1 ^2 — — T~ 



Aj Aj 



og er algebraiske funktioner af t. Det almindelige integral i («) 

 bliver derfor: 



_ (c x X x — eX») x x H- (c — c x ) X l X 2 

 (ci — c) x x + cX x — c t X 2 



Ganske analogt med denne Konigsbergers udvikling viser det 

 sig for differentialligninger af heiere orden, der besidder 

 fundamental-integraler, at man ved at lade coefficienterne for de 

 partikulære integraler indeholde den uafhængige variable, altid 

 kan reducere antallet af de partikulære integraler i formlen for 

 bestemmelsen af det almindelige integral. Aarsagen til dette er, 

 som vi senere skal se, at man ved en simpel substitution kan 

 tilbagefere de betragtede differentialligningers integration til 

 integrationen af en lineær homogen differentialligning. 



Vi gaar nu over til det tilfælde, at n = 2, hvor vi har to 

 simultane differentialligninger af Iste orden. Da samtlige ende- 

 lige continuerlige grupper i to variable er bestemte af Lie, kunne 

 vi give et fuldstændigt schema over de typer, hvortil man altid 

 ved en punkttransformation vil kunne tilbagefere et system af to 

 simultane differentialligninger, der besidder fundamental-integraler. 

 Af disse differentialligninger vil imidlertid alle de typer, der 

 svarer til en im primitiv gruppe, reducere sig til en uafhængig 



