4 



ALF GULDBERG. 



[No. 9. 



differentialligning af respective Iste, 2de etc. (r— l)te orden. 

 Vi kunde vedblive, idet vi gjennemgaar theorien for de alge- 

 braiske ligninger, til saagodtsom enhver sats at nævne den ana- 

 loge i theorien for de lineære, homogene differentialligninger. 

 Vi vil imidlertid i denne forbindelse kun minde om LibrFs, 

 Liouville's og Brassinne's bekjendte sætninger om de fælles 

 integraler i to simultane lineære, homogene differentialligninger, 

 der har sin analogi i theorien om de fælles redder i to simul- 

 tane algebraiske ligninger. Hvorledes theorien for de symetriske 

 funktioner af redderne har fundet sit sidestykke, kjender vi fra 

 AppelFs bekjendte afhandling om de invariante rationale funk- 

 tioner af integralerne og deres deriverte. 



Mest slaaende er dog denne analogi gjennemfert ved de 

 fundamentale undersegelser af Picard og Vessiot, der har vist, 

 at der til enhver lineær, homogen differentialligning med rationale 

 coefticienter hører en lineær, homogen transformationsgruppe, der 

 overfor denne differentialligning spiller samme rolle som ved 

 Galois' theorie for de algebraiske ligninger den ligningen til- 

 forordnede substitutionsgruppe. 



I de følgende linjer vil vi, samtidig som vi giver en an- 

 vendelse af Picards og Vessiofs theori, søge at føie endnu et 

 led til denne række analogier mellem de algebraiske ligninger 

 og de lineære homogene differentialligninger, idet vi under- 

 søger de lineære homogene differentialligninger, der danner et 

 sidestykke til de af Abel 1 betragtede algebraiske ligninger o : lig- 

 ninger, hvor en rod lader sig rationalt udtrykke ved en anden. 

 Vi skal derfor her betragte de lineære, homogene differential- 

 ligninger, der besidder den egenskab, at et fundamental-integral 

 lader sig udtrykke rationalt ved et andet. Vi skal se, at den 

 nævnte analogi igjen stadfæster sig i store træk; i en senere 

 afhandling haaber vi at kunne levere ogsaa en undersøgelse af 



1 Saadanne ligninger var allerede i 1826 (tre aar før Abels afhandling 

 i Crelles journal) gjort til gjenstand for undersøgelser af Libri i en 

 afhandling, indleveret til det franske academie. Ligninger af denne 

 beskaffonhed er, som bekjendt, senere af Kronecker benævnt Abelske. 



