1894.] LINEÆRE HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNINGER. 



5 



de lineære homogene differentialligninger, der svarer til de 

 Galois'ske ligninger. 



Vi tænker os forelagt følgende lineære homogene differential- 

 ligning af nte orden: 



m d n x : d nl x , d n ~ 2 x . dx , 



(1) 1F +p ' HF^ +p > +fr 1 di +** = ' 



hvor p x p 2 . . .p n er rationale funktioner af /. 



Et system fundamental- integraler i denne ligning være: 



CC j ^^*> • • • • 



Ifølge Picards og Vessiots undersøgelser spiller da den lineære 

 homogene transformationsgruppe 



n 



Xi = E dijXj {i = 1.2. .ri) 



samme rolle overfor ligning (1) som den discontinuerlige gruppe 

 af n bogstaver overfor en algebraisk ligning af nte grad. Betegner 

 vi denne lineære homogene gruppe med G, saa bestaar nemlig 

 følgende fundamental-theorem: 



Til enhver lineær homogen differentialligning (1) hører en 

 lineær homogen gruppe G, der har følgende to egenskaber: 



1. Enhver rational funktion af integralerne x x x 2 ..x n og deres 

 deriverte, der lader sig udtrykke rationalt ved ligningens 

 coefficienter p x p 2 ..p n , deres deriverte og /, er invariant 

 ved G. 



2. Enhver rational funktion af integralerne x x x rj ..x n og deres 

 deriverte, der er invariant ved G, lader sig udtrykke rationalt 

 ved ligningens coefficienter, deres deriverte og t. 



Picard har kaldet denne gruppe G, ligningens transformations- 

 gruppe (groupe de transformations de 1'equation), Klein benævner 

 den derimod ligningens „Eationalitetsgruppe". Vi vil beholde 

 Picards benævnelse, idet vi dog, hvor ingen misforstaaelse er 

 mulig, simpelthen taler om den givne lignings gruppe G. 

 Af dette theorem følger umiddelbart som et corollær: 

 Er ff x og to rationale funktioner af integralerne x x x 2 . .x„ 

 og deres deriverte, der er numerisk lige, saa er funktionen cp x — \p x 

 invariant ved G: thi, da den er nul, lader den sig udtrykke 



