(i 



ALF GtJLDBEEGr. 



[No. 9. 



rationalt ved ligningens coefficienter og deres deriverte, følgelig 

 invariant ved G. 



Vi benævner en lineær homogen differentialligning af 

 nte orden: 



— , . d n x . d n ' 1 x 1 dx , 



F(x) = * +p > W*'— It +p " x = 



med rationale coefficienter for irreductibel, hvis den intet integral 

 har fælles med nogen lineær homogen differentialligning af 

 lavere orden med rationale coefficienter, reductibel, hvis dette 

 finder sted. 



Ifølge undersøgelser af Beke 1 og Bendixson 2 kan man 

 stedse ved en given lineær homogen differentialligning gjennem 

 et endeligt antal arithmetiske operationer afgjøre, hvorvidt den 

 betragtede differentialligning er irreductibel eller ikke. Er nu 

 en lineær, homogen differentialligning irreductibel i den her 

 definerede forstand, gjælder følgende af Beke beviste sats: 



Er den lineære homogene differentialligning F(x) = irre- 

 ductibel, saa er den ligningen tilforordnete gruppe G transitiv 

 og omvendt. 



Efter disse almindelige bemærkninger vil vi gaa over til 

 at betragte følgende irreductible lineære homogene differential- 

 ligning af nte orden. 



d n x , d nl , dx . n 



dF +p <dF^ + ---- +p ''-i Tt +P " x = ' 

 hvor p l p 2 ..p n altsaa er rationale funtioncr af /; ligningens 

 gruppe være 6r, der ifølge ovennævnte sats er transitiv. 

 Lad 



betegne et system fundamental-integraler i vor ligning. 



Vi forudsætter nu, at et element x { af dette fundamental- 

 system lader sig udtrykke rationalt ved et andet element, 

 f. ex. at altsaa: 



x ( = 6{x x ) eller x 4 — 6(x { ) = , 

 hvor 6 betegner en rational funktion af x x med rationale coef- 

 ficienter. 



1 Beke: Mat li. Annalen, bd 45. 



- Bendixson: Ofversigt af kgl. Vet.-Akademiens Forn. 1892. 



