1894.] LINEÆKE HOMOGENE DIEEEKENTIALLIGNINGEK. 



7 



~ Ifølge det beviste corollær vil, da G er transitiv, af el 

 hvilketsomhelst integral x p fremdeles være en løsning af vor 

 ligning, saaledes ogsaa 6 (x i), men 6 (x % ) = 0(6(x x )) = d 2 (x x ). 

 Følgelig vil af samme grund Ø 2 af et hvilketsomhelt integral 

 være en løsning, altsaa ogsaa 9 2 (x l ), men 2 (xi) = 6 d (x x ). Fort- 

 sættes med dette ræsonnement, ser vi, at overhovedet n af en 

 hvilkensomhelst løsning igjen vil være en løsning af vor givne 

 ligning. 



Vi erholder saaledes en række nye løsninger: 



x, 6 (x,) .... 0"(x x \ x 2 B(x % ) . . . 6> n (x 2 ), .... 

 Betragter vi nu en af disse, paa denne maade fremkomne 

 rækker af nye integraler: 



x x øtø), e*{x x ) ep{x x ), 



saa vil der i denne række stedse gives et vist antal (p) af hin- 

 anden uafhængige løsninger d. v. s. at der mellem disse ikke 

 bestaar nogen lineær homogen relation med constante coef- 

 ficienter, medens der mellem (p + 1) løsninger findes en saadan. 

 Det kan nu indtræffe to tilfælde, enten erholdes først en saa- 

 dan relation for p = w, eller vi erholder en relation allerede for 

 en mindre værdie af p. At p i hvert fald maa være større 

 end 1, følger af antagelsen, at 



6(x x )=^Xi 



er et fra x x forskjelligt fundamental-integral. 



I første tilfælde erholdes følgende n af hinanden uafhæn- 

 gige løsninger: 



x x 6{x x ) 9\x x ) . . . e»-i{x y ) , 

 der altsaa danner et system fundamental-integraler; eller med 

 andre ord, ethvert integral cp (x) i vor ligning har følgende 

 form: 



rp(x) = a l x l 4- cc fs O(x x ) + ct 3 9 2 (x x ) + + a n 6« -ifø), 



det er, lader sig udtrykke rationalt ved et eneste integral. 



I andet tilfælde bestod der allerede for et p < n en lineær 

 homogen relation mellem p + 1 løsninger af rækken: 

 x u 6{x x ), 0*(x x ),.... 



