s 



ALF GULDBERG. 



[No. 9. 



Da p < n, vil der existere videre n —p af disse uaf hængige 

 integraler; et af disse være x 2 . Ifølge det foregaaende vil da 



ogsaa : 



0(x 2 ), 8Hx 2 ) 6Pix 2 ) 



være løsninger i vor ligning. Vi erholder saaledes følgende 

 nye række løsninger: 



x, 0(x.).. . .BP ''(x,) , x 2 0(.r 2 ). . . .6p>(x 2 ) . 

 Blandt disse løsninger vil der gives et bestemt antal p f p i 

 af hinanden uaf hængige løsninger, medens der mellem p + p x + 1 

 af dem bestaar en lineær homogen relation med constante coef- 

 ficienter. Er nu p -\~Pi < », vil der existere videre n — (p -\- Pi) 

 af disse (p + p.) uafhængige løsninger; en af disse være x z . 

 Løsninger af vor ligning er da ogsaa: 



oHx,) 



Vi faar saaledes en ny række løsninger: 

 x x B (xi) .... SP- 1 (x l ) , x, 6 (x 2 ) . . . BP'- 1 (x 2 ) , x z B (x z ) . . . Bp^ 1 (x z ) , 

 der er af hinanden uaf hængige. medens der mellem (p +i?,+i>2+ 

 løsninger bestaar en lineær homogen relation med constante coef- 

 ficienter. Fortsættes paa denne maade, erholdes tilslut g rækker 

 af hinanden uafhængige løsninger: 



fl?, B(x x ) . . . Bp-\x x ) 



x 2 B(x 2 ) . . . Bp^(x 2 ) 



Xa 6{Xo) . . . BV<*-\Xo) 



der tilsammen danner et system fundamental-integraler i vor 

 ligning, altsaa p -f p x -\-p 2 + ... +p = n\ men paa grund af 

 6r's transitivitet ser man, at p =p x = lh = • • • — V° • 



Vi er saaledes kommen til følgende foreløbige resultat: 

 Er F (x) =--0 en irreductibel lineær homogen differential- 

 ligning af nte orden, altsaa af formen: 



-r-t , v (l l *x cfa ^ x , dx , 



hvor^ p, . ,p n er rationale funktioner af /, og betegner x x x 2 . .x H 

 et system fundamental-integraler i denne ligning og lader et 



