1894.] LINEÆRE HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNINGER. 



9 



lmlketsomhelst element x t sig udtrykke som en rational funktion 

 af et andet x p , altsaa: 



X{ = 6 {Xp) j 



saa vil et system fundamental-integraler i denne ligning være: 

 x x 0^). . . Øp- 1 ^) 

 x 2 6(x 2 )... 6P-\x 2 ) 



Xo 6{Xa) ØP- 1 (Xa) , 



hvor to — p.G og 6 2 (x l ) for kortheds skyld er sat for 0(0(æ,)) etc. 



Har man nu forelagt en lineær homogen differentialligning 



ai røte orden • 



F(x) = 



med rationale coeffiicienter, saa kan man, som nævnt, efter et 

 endeligt antal operationer afgjøre, hvorvidt den forelagte diffe- 

 rentialligning er irreductibel eller ikke. Viser det sig nu, at 

 ligningen er irreductibel, saa stiller det spørgsmaal sig: Bestaar 

 der nogen rational relation, selvfølgelig af høiere grad end første, 

 mellem elementerne x\x 2 . .x n af et system fundamental-integraler 

 af den givne ligning? samt hvilke er de nødvendige og tilstræk- 

 kelige betingelser herfor? 



Denne opgave er, for det tilfælde, at der mellem elementerne 

 X\ x 2 . . . x n af et system fundamental-integraler bestaar en hel 

 rational relation med constante coefficienter af formen: 



Cf kl (x i X 2 .. ,X n ) + Cp k2 (X l X 2 . .X n ) +....+ Cfkm{0C l X 2 . .X n ) = , 



hvor ^'erne er homogene funktioner respective af graden 

 %i^...km, behandlet af Appell, 1 der har vist, at betingelsen 

 herfor er, at en vis determinant, til opstilling af hvilksn kun 

 algebraiske operationer er nødvendig, forsvinder. 



Det er imidlertid let at se ; at man stedse kan afgjøre, hvor- 

 vidt saadanne relationer mellem elementerne x t x 2 . .x n finder sted 

 eller ikke. 



Thi denne opgave er identisk med at afgjøre, hvorvidt den 

 givne lignings gruppe G, der, da ligningen er irreductibel, er 

 transitiv, er primitiv eller imprimitiv, hvilken opgave loses 

 ved følgende vigtige theorem af Lie: 



1 Appell: Annales de 1'école normale. 2 serie t. 10. 



Vid.-Selsk. Forh. 1894. No. 9. 2 



