1894.] LINEÆRE HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNINGER. 11 



Vi skal da vise, at integrationen af denne differentialligning 

 lader sig reducere til integrationen af visse lineære homogene 

 differentialligninger af lavere orden. 



Vi betragter til den ende følgende lineære homogene diffe- 

 rentialligning af pte orden: 



hvor et system fundamental- integraler er: 



x x 6(x i ).6 2 (x i ) dP- 1 ^) . 



Lad nu rj i2 . . .17,^ være hele rationale funktioner af løs- 

 ningerne x t 6{x x ) og saaledes beskafne, at de be- 

 stemmer et system rationale fundamental-invarianter ved denne 

 lignings gruppe G x \ A n k u . . .l n vil da lade sig udtrykke rationalt 

 ved dem og deres deriverte. 



Sætter vi nu for x x successive x 2 , x Z) ...x 0) antager rj u r} X2 

 ..rj ip p.o forskjellige værdier; vi vil betegne dem med rj 2X ij 22 

 . . .7] 2P9 . . ., rjo x rjo 2 . . .rjop, hvilke funktioner fremdeles vil danne 

 et system fundamental-invarianter ved de grupper, vi erholder 

 ved i udtrykket for G x for x x at sætte henholdsvis x 2 , x z . . .x '^ 

 vi vil betegne disse grupper med G 2 , G 3 ...Go, hvor følgelig 

 Gi er den til den lineære homogene differentialligning: 

 åPx dP l x dx _ 



Wp + ^'dF* + ' * p :M dt + ApiX ~ ° 

 med fundamental-systemet: 



Xi 6(x t ). . . ØP- 1 (Xi) 



hørende gruppe. 



Betragter vi nu følgende hele rationale funktion: 

 ca rju + a-2 r]2i + or 3 rj3 t +• . . + eta r\oi = cp{xi 0(Xi). . 6p-\x\ )..Xo.. Øp-^Xo)), 

 tilfredsstiller den en lineær homogen differentialligning af orde- 

 nen g, hvis coefficienter lader sig udtrykke rationalt ved lig- 

 ning (l)'s coefficienter og deres deriverte. Lader vi nu i antage 

 værdierne 1, 2..p, erholder vi p lineære homogene differential- 

 ligninger med rationale coefficienter af erte orden med den egen- 

 skab, at af integralerne: 



^11 Vi2- - - Vip °% deres deriverte 

 lader coefficienterne i ligning (2) sig udtrykke rationalt. Inte- 

 gration af ligning (1) reducerer sig saaledes til integrationen af 



