Om Forringelsen af Modularligningernes Grad. 



Af L. Sylow. 



(Foredraget i Mødet den 16de September 1870.) 



Den Meddelelse, som jeg idag har at gjøre, gjælder de fra 

 Theorien for de elliptiske Funktioners Transformation bekjendte 

 Modularligninger. Disse Ligninger have været Gjenstand for Un- 

 dersøgelse af Galois, og efter ham have flere senere Mathematikere 

 behandlet dem. Galois har angivet de Resultater, hvortil han var 

 kommeri, i det Brev, som han skrev til sin Ven Auguste Chevalier 

 Dagen før den Duel, hvori han faldt. Han har bestemt det Sy- 

 stem af Substitutioner, der tilhører Modularligningen, naar Trans- 

 formationens Grad er et*Primtal; hvilken Simplifikafion dette 

 System kan undergaa ved Hjælp afRødderne i en Hjælpeligning, 

 og har desuden bestemt de Tilfælde, i hvilke Ligningens Grad 

 kan forringes ved at vælge en Funktion afRødderne til den Ube- 

 kjendle. Senere har Betti gjenfundet de fleste af disse Resultater 

 og leveret Bevis for dem. Kun manglede endnu Beviset for, at 

 en Forringelse af Graden er umulig, naar Transformationens Grad 

 er et Primtal større end 11. Hellerikke er dette Punkt behandlet 

 i Hermites Arbeide „Sur la théorie des équations modulaires". 

 Jeg har tidligere, idet jeg behandlede en nærliggende Gjenstand 

 (se Videnskabsselskabets Forhandlinger for 1867 Pag. 120, Noten) 

 ytret, at jeg ved en anden Leilighed skulde give Beviset. Vist- 

 nok er jeg under mit Ophold her i Staden bleven opmærksom 

 paa, at C am ille Jordan imidlertid har leveret Bevis herfor i 

 en Note i „Comptes rendus" for 1868, Iste Hal vaar, Pag. 64; men 

 jeg tror, at mit Bevis er tilstrækkelig forskjelligt fra Jordan's, til 

 at det maaske kan ansees nogen Interesse værdigt, især da det 



holder sig nærmere til Galois's Antydninger og til Betti's tidligere 



25* 



