388 



Arbeide; tillige ere de Forhold, som jeg kommer til at omtale, 

 af almindeligere Gyldighed, hvorom jeg til Slut skal ytre nogle Ord. 



Er n et Primtal, da er den Modularhgning, der svarer til en 

 Transformation af n te Grad, selv af Graden n + 1. Adskilles Rød- 

 derne ved Indexerne oo, 0, i, 2 ... . n — i, saa bestaar det System, 

 der tilhører Ligningen, af de (n -\- 1) n (n—i) Substitutioner, der 

 indeholdes i Formelen 



hvor Indexerne skulle tåges efter Modulen n. Ved at medregne 

 en vis Kvadratrod som bekjendt Størrelse reduceres Systemet til 

 Halvparten af de nævnte Substitutioner, nemlig til dem, hvis De- 

 terminant, ad—bc, er kvadratisk Rest. Modularligningens System 

 af Substitutioner er saaledes af Ordenen (n + f) n (n — i) eller 

 (n -f- f) n efter som man kun vil anse den oprindelige ellip- 

 tiske Funktions Modulus som bekjendt, eller desuden vil tage hin 

 Kvadratrod til Hjælp. Dette er den eneste Simplifikation, som e'r 

 mulig, naar n overstiger 3. Transformeres nu Ligningen, idet 

 man vælger en Funktion af Rødderne til den Ubekjendte, kan man 

 derfor ikke opnaa anden Virkning, end at forandre dens Grad 

 uden yderligere at formindske det System af Substitutioner, der 

 tilhører den. Graden kan nu ikke blive lavere end w, da Prim- 

 tallet n ikke kan gaa op i et Systems Orden, hvis Grad er lavere 

 end n. Der er altsaa kun at undersøge, i hvilke Tilfælde Lig- 

 ningen kan omdannes til en anden af Graden n. For at dette 

 skal være muligt, maa den Funktion af Rødderne, der vælges til 

 den Ubekjendte, netop antage n Værdier ved samtlige Systemets 

 Substitutioner, og maa saaledes være uforandret ved et vist par- 

 tielt System af Ordenen (n + i) Omvendt er Existensen af 

 et saadant System ogsaa den tilstrækkelige Betingelse; thi tindes 

 et saadant, kan man danne en Funktion af Rødderne, der er 

 uforandret ved dets Substitutioner, men foranderlig ved alle andre. 

 Denne Funktion er da Rod i en Ligning af Graden w, og da dens 

 System af Substitutioner er af samme Orden som den tidligeres, 

 vil omvendt Rødderne i denne ogsaa kunne udtrykkes som ratio- 



