390 



Man maatte da have 



a x b + 6, = abi -\- b, 

 eller j b - = 



l — a 1 — bi 1 



men dette udsiger jo netop, at den Rod, som begge, foruden 

 lade uforandret, er den samme. Man kan nu uden Skade antage, 

 at x er uforandret ved alle Substitutioner i y. Var det nemlig æ*, 

 der var uforandret, behøvede man blot at danne det afledede Sy- 

 stem af g ved Substitutionen 



(*, *-&), 



for at faa et nyt System af samme Orden, der ogsaa indeholdes 

 i G, og hvori de Substitutioner, der lade x^ uforandret, heller 

 ikke forandre x . Vi antage altsaa, at Substitutionerne i Syste- 

 met y ere af Formen 



{k, a k) . 



Som man ved, maa et saadant Systems Orden være en Di- 

 visor af n — i, som vi foreløbig kalde v. Betegnes ved m det 

 Antal Rødder, hvortil x æ ved Substitutionerne i g kan gaa over, 

 saa er Ordenen af g lig m v. Man har saaledes : 

 mv =-- (n + 1) {n — /), eller m v = (n -f- 1) 

 Da Dum5/i + i, 

 sluttes v = w— i, eller v = 

 hvoraf m = n -f- i- 

 I begge Tilfælde er saaledes Systemet g transitivt, og inde- 

 holder alle Substitutioner af Formen (k, ak), som indeholdes i £?, 

 nemlig i det første Tilfælde alle n — i, i det andet — j- nemlig dem, 

 hvori a er kvadratisk Rest. 



Dette er nok for at finde en karakteristisk Egenskab ved Sy- 

 stemet g. Da det nemlig er transitivt, maa Antallet af de Sub- 

 stitutioner, der lade en hvilkensomhelst Rod, f. Ex. x b , uforandret, 

 netop være lig Antallet af dem, der lade x^ uforandret. Substi- 

 tutionerne 



(*, ak) 



ere derfor de eneste i g, der lade x uforandret. Hvis derfor en 

 Substitution 0, der tilhører g, forandrer .r w til x , maa den om- 

 vendt ogsaa forandre x til thi ellers vilde man ved 8 af (/r, a/p) 



