392 



Altsaa er 6 = (k, a 



Den saaledes bestemte Substitution forandrer Parret oo og til 

 a og — a, og Parret 6 og — b til og oo. For andre Værdier 

 maa ogsaa A; og — k gaa over til Værdier, der tilhøre konjuge- 

 rede Rødder. Dette kræver, at 



k-b_ = — k—b 



a k + b~ a -k + b-> 



eller (k + &) 2 = - (*— b)\ 

 og denne kvadratiske Kongruents maa tilfredsstilles for n— 3 Vær- 

 dier ; men dette er jo kun muligt, naar 



»-3 = 2, 

 eller n = 5. 



For Transformationer af høiere Grader end 5te kan saaledes Mo- 

 dularligningens Grad ikke forringes uden at indføre en Kvadrat- 

 rod i den nye Lignings Koefficienter. 



Vil man derimod tillade, at en vis Kvadratrod forekommer 

 som bekjendt Størrelse, er Modularligningens System af Ordenen 

 (n + i) n -j- ; det partielle System g skal da være af Ordenen 



in + i) og skal indeholde alle Substitutioner af Formen (Æ, a 2 k). 

 Hvis man antager, at x\ er konjugeret med x nn saa bliver over- 

 hovedet x a i konjugeret med x ma i. Der er da to Tilfælde at be- 

 tragte, nemlig at m er kvadratisk Rest eller Ikkerest. 

 Er m Rest, kan man sætte 



a 2 = m, 



hvoraf man som ovenfor finder 



m - — i. 



Man har altsaa n = 4h + i, og at x k % er konjugeret med x- k %. Da 

 saaledes enhver Rod, hvis Index er Rest, er konjugeret med en 

 anden, hvis Index er Rest, maa ogsaa de, hvis Indexer ere Ikke- 

 rester, være parvis konjugerede. Er altsaa s en Ikkerest og x z 

 konjugeret med x Zm > , maa m' være Rest. Man slutter da, at x a iz 

 er konjugeret med av £m <, hvoraf ved at sætte a 2 =m' følger, at 

 m 4 = — 1. Altsaa maatte x k være konjugeret med x- k for alle 

 Værdier af k undtagen oo og 0. Men vi have allerede seet, at 

 dette kun er muligt for n — 5. 



