394 



Men da de nu tilsammen have høist 4 Rødder, sluttes: 



altsaa n S 11. 



Systemet g er altsaa kun muligt for n = 5, 7 og 11, og her- 

 med er Umuligheden af Gradens Forringelse, naar n> 11, bevist. 

 Sætter man i de to Kongruentser 



k - md 'C 



og reducerer, antage de Formen* 



mT-m(m + i) 1+1 = 0, 

 m^ 2 -(m + i) £ + 1=0, 

 hvoraf mindst den ene skal tilfredsstilles for hver Værdi af £, der 

 er Ikkerest, undtagen £ = ~. Det er netop disse Kongruentser, 

 hvorfra Betti er gaaet ud, og hvoraf han i Forbindelse med Be- 

 tingelsen m—l ~ Rest, har udledet Muligheden af at nedbringe 

 Modularligningens Grad for n = 7 og n — 11. Jeg har -altsaa 

 bevist, at den Betingelse, som Betti har fundet tilstrækkelig, ogsaa 

 er nødvendig. 



Den Egenskab, som jeg har paavist hos det Modularligningen 

 tilhørende System af Substitutioner, saa ofte som dens Grad kan 

 forringes, kan ogsaa udledes ved Betragtninger af større Almin- 

 delighed. Jeg har i den tidligere nævnte Afhandling bevist, at 

 Ordenen af et System af Substitutioner, der tilhører en irreduktibel 

 Ligning, hvis Grad er Primtallet n, maa være af Formen (np + 1) n. v 

 (hvor v betegner en Divisor af n — i), samt at enhver saadan Lig- 

 ning kan transformeres til en anden af Graden np + i, hvis Sy- 

 stem har samme Orden som den oprindeliges, at endelig Roden 

 i hver af disse Ligninger er en rational Funktion af Rødderne i 

 den anden. Er nu p — l, saa kan man nemlig bevise, at den 

 transformerede Lignings System af Substitutioner indeholder et 

 partielt System af Ordenen (n + i)v, der er transitivt og har parvis 

 konjugerede Rødder. Dette giver et Middel til at anstille nær- 

 mere Undersøgelser om saadanne Systemers Mulighed. Saa- 

 ledes er det ikke vanskeligt at bevise, at Systemer af Ordenen 

 (n-\-l)n(n—l) overhovedet ikke findes for n>5. Dernæst kunne Sy- 



